Модель логарифмического распределения известного английского математика Фишера была первой попыткой описать отношение между числом видов и числом особей этих видов. Особенным успехом эта модель пользовалась в энтомологических исследованиях и была впервые применена Фишером как теоретическая модель для описания распределения видов в коллекциях. Этой модели и статистике разнообразия было посвящено подробное исследование Л. Р. Тейлора с соавторами .

Распределение частот видов для логарифмического распределения описывается следующей последовательностью:

где х – число видов, представленных одной особью, х 2 /2 – число видов, представленных двумя особями и т. д.

Логарифмическая модель имеет два параметра  и x . Это означает, что для выборки объемом N и числом видов S существует только одно возможное распределение частот видов по их относительному обилию, так как и , и х являются функциями N и S . Чем больше выборка, извлеченная из данного сообщества, тем больше значение х и тем меньше доля особей, относящихся к видам, представленных одной особью в выборке. Два параметра S и N (общее число особей) связаны между собой зависимостью
, где – индекс разнообразия, который можно получить из уравнения:

,

где сумма всех особей N , принадлежащих S видам:

Моделью логарифмического распределения, характеризующейся малым числом обильных видов и большой долей «редких», с наибольшей вероятностью можно описать такие сообщества, структура которых определяется одним или немногими экологическими факторами.

Как показали исследования, проведенные Мэгарран в Ирландии , такому ряду соответствует распределение обилий видов растений наземного яруса в хвойных культурах в условиях низкой освещенности.

5.3.3. Логарифмическинормальное распределение

Для большинства сообществ характерно лог-нормальное распределение обилий видов, но обычно эта модель указывает на большое, зрелое и разнообразное сообщество. Такое распределение характерно для систем, когда величина некоей переменной определяется большим числом факторов.

Эта модель впервые была применена к распределению обилий видов Престоном. На разнообразном эмпирическом материале он показал, что частоты видов в больших выборках распределены в соответствии с логарифмическинормальным законом. По разработанной им методике в частотные классы группируются виды с числом особей, заключенным в промежутках, которые ограничены числами геометрической прогрессии. Престон нанес на ось обилия видов в масштабе логарифма по основанию 2 (log 2) и назвал получившиеся классы октавами. Но для описания модели можно использовать любое основание логарифма. На графике распределения частот видов по полученным таким способом классам численности соответствуют известной кривой нормального распределения, усеченной слева, в области частот редких видов.

Распределение обычно записывается в форме:

, где

S R – теоретическое число видов в октаве, расположенной в R октавах от модальной октавы; S mo – число видов в модальной октаве;  – стандартное отклонение теоретической лог-нормальной кривой, выраженное в числе октав.

Рис. 5.3.2. Лог-нормальное распределение

Лог-нормальное распределение описывается симметричной «нормальной», т. е. колоколообразной кривой (рис. 5.3.2.). Однако если данные, которым она соответствует, получены из ограниченной выборки, то левая часть кривой (т. е. редкие, неучтенные виды) будет выражена нечетко. Престон назвал такую точку усечения кривой слева «линией занавеса». «Линия занавеса» может сдвигаться влево при увеличении объема выборки. На рисунке она указана стрелкой. Для большинства выборок выражена только часть кривой справа от моды. Только при огромном количестве данных, собранных на обширных биогеографических территориях, прослеживается полная кривая. S -образная кривая указывает на сложный характер дифференциации и перекрывания ниш. Большинство видов в природных открытых экосистемах существует в условиях соревнования за ресурсы, а не на условиях прямой конкуренции; множество адаптаций дает возможность делить ниши без конкурентного исключения из местообитания. Эта модель наиболее вероятна для ненарушенных сообществ.

Если бы вы делали измерения для продолжительного интервала времени , вы, вероятно, столкнулись бы с искажением картины распределения. Например, вы могли бы увидеть, что нормы доходности превышают 100% и что нет ни одного случая, когда доходность была бы меньше 100%. Распределение значений доходности за период, скажем в один год, лучше всего соответствовало бы логарифмическому нормальному распределению. Логарифмическое нормальное распределение, как и нормальное, полностью определяется его средним значением и стандартным отклонением.  

На левой гистограмме мы делаем предположение, что для предприятия г-жи Хартии Вольнэсти возможны только два исхода - высокий спрос или низкий спрос. На гистограмме показана приведенная стоимость в первом году при допущении, что бизнес не останавливается. Логарифмическое нормальное распределение на правом рисунке более реалистично, поскольку подразумевает бесконечный ряд возможных значений приведенной стоимости и учитывает промежуточные результаты Модель Блэка -Шольца основана на логарифмическом распределении.  

Гипотеза о логарифмически нормальном распределении коэффициентов элементарного перехода обеспечивает удобство и простоту про-  

Как уже отмечалось выше, предположение о том, что коэффициенты элементарного перехода а, являются случайными величинами , имеющими одно и то же логарифмически нормальное распределение с параметрами i, о2 (а,-е п(ц,а2)), предопределяет справедливость прогнозов, получаемых на основе мультипликативной стохастической модели в течение ограниченного временного периода, характеризующегося неизменностью условий. Отсюда вытекает задача разработки методов оперативного и эффективного определения момента изменения факторов, влияющих на динамику ресурса (момента изменения значений ц, а2). Она может быть решена за счет мониторинга (постоянного отслеживания) значений математического ожидания m, - Ma(i) и дисперсии s,2 = Da(z) случайных коэффициентов элементарного перехода a(z), z = l,..., n,....  

Логарифмически-нормальное распределение. Распределение случайной величины Y называется логарифмически-нормальным, если логарифм этой величины распределяется по нормальному закону  

Логарифмически нормальное распределение  

Необходимо отметить, что форма распределения, используемого для Р(Т, U), не обязательно должна быть такой же, как и в модели ценообразования , применяемой для определения значений Z(T, U - Y). Например, вы используете модель фондовых опционов Блэка-Шоулса для определения значений Z(T, U - Y). Эта модель предполагает логарифмически нормальное распределение изменений цены, однако для определения соответствующего Р(Т, U) вы можете использовать другую форму распределения.  

Логнормальное, логарифмически-нормальное распределение 176  

Весьма часто физические параметры подчиняются так называемому логарифмически нормальному распределению. На основании анализа табл. 95 и 96 можно утверждать, что парные коэффициенты корреляции, подсчитанные по параметрам в логарифмическом масштабе, будут незначимо отличаться от линейных парных коэффициентов корреляции. В табл. 95 и 96 приведены парные коэффициенты корреляции в линейном (верхняя строка) и логарифмическом (нижняя строка) масштабах. Незначимым различие считается, если доверительные интервалы для парных коэффициентов корреляции пересекаются. Рамкой обведены те клетки, в которых различие парных коэффициентов корреляции оказалось значимым. Как видно, для всех приборов существенно нелинейна взаимосвязь 1-го и 6-го, 2-го и 6-го, 2-го и 5-го параметров. Для годных приборов то же относится к взаимосвязи 1-го и 6-го, 2-го и 6-го параметров.  

К математическим средствам оценки рисков относятся статистические расчеты, нормальное распределение , логарифмически нормальное распределение, линейное программирование , эконометрические методы и т.д.  

Стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров логарифмически нормального распределения по совокупности статистических данных, если эти данные подчинены логарифмически нормальному распределению.  

Логарифмически нормальное распределение. Пусть X N(m,a2). Случайная величина Y = ех называется логарифмически нормальной. Можно показать, что плотность распределения этой величины определяется формулой  

Логарифмически нормальное распределение возникает в ситуации, когда исследуемая случайная величина формируется под воздействием большого числа мультипликативных случайных факторов . Можно показать, что  

С помощью этой модификации нормальное распределение преобразуется в логарифмически нормальное распределение. Цена любого свободно котируемого инструмента имеет нулевое значение в качестве нижнего предела 1. Поэтому когда цена этого инструмента падает и приближается к нулю, то, теоретически, цене инструмента должно быть все труднее понизиться. Рассмотрим некую акцию стоимостью 10 долларов. Если бы акция упала на 5 долларов до 5 долларов за акцию (50% понижение), то в соответствии с нормальным распределением она может также легко упасть с 5 долларов до 0 долларов. Однако при логарифмически нормальном распределении подобное падение на 50% с цены в 5 долларов за акцию до цены  

Логарифмически нормальное распределение, рисунок 3-15, работает точно так же, как и нормальное распределение , за тем исключением, что при логарифмически нормальном распределении мы имеем дело с процентными изменениями, а не абсолютными. Теперь рассмотрим движение вверх. В соответствии с логарифмически нормальным распределением движение с 10 долларов за акцию до 20 долларов за акцию аналогично движению с 5 долларов до 10 долларов за акцию, так как оба эти движения представляют повышение на 100%. Это не означает, что мы не будем использовать нормальное распределение . Мы просто познакомимся с логарифмически нормальным распределением, покажем его отличие от нормального (логарифмически нормальное распределение использует процентные, а не абсолютные изменения цены) и увидим, что обычно именно оно используется при обсуждении ценовых движений или в том случае, когда нормальное распределение ограничено снизу нулем. Для использования логарифмически нормального распределения необходимо преобразовывать данные, с которыми вы работаете, в натуральные логарифмы1.  

Мы немного познакомились с математикой нормального и логарифмически нормального распределения и теперь посмотрим, как находить оптимальное f по нормально распределенным результатам. Формула Келли является примером параметрического оптимального f, где f является функцией двух параметров. В формуле Келли вводные параметры - это процент выигрышных ставок и отношение выигрыша к проигрышу. Однако формула Келли даст вам оптимальное f только тогда, когда возможные результаты имеют бернуллиево распределение. Другими словами, формула Келли даст правильное оптимальное f, когда есть только два возможных результата, в противном случае, как, например, в нормально распределенных результатах, формула Келли не даст вам правильное оптимальное f2.  

Логарифмически нормальное распределение зависит от двух параметров математического ожидания а и среднего квадратичес-кого отклонения о случайной величины Y (логарифмов доходов) а = E(Y) = E(InX), а2 = var(F) = var(hiA). Расчет второго параметра проводится на основе данных выборочного бюджетного обследования по следующей формуле  

Для изучения особенностей дифференциации населения по уровню доходов используются структурные характеристики радов распределения, такие, как мода, медиана, квартили, децили и др. Эти статистические характеристики могут быть выражены и исчислены через параметры логарифмически нормального распределения (а и о). Вместе с тем приближенную оценку структурных характеристик можно получить и на основе уже построенных статистических рядов, публикуемых органами государственной статистики.  

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - распределение случайной величины , логарифм которой характеризуется нормальным распределением . С его помощью удобно описывать некоторые экономические явления, напр., дифференциацию заработной платы , распределение доходов.  

При использовании вероятностных моделей риска распространены два характерных заблуждения. Во-первых, если величина ущерба зависит от множества причин, то она должна иметь нормальное распределение . Это ошибочное мнение, так как все зависит от способа их взаимодействия. Если причины действуют аддитивно (суммарно), то согласно Центральной предельной теореме теории вероятностей величина ущерба действительно имеет приблизительно нормальное (гауссово) распределение. Если же причины действуют мультипликативно, то в силу той же теоремы следует приближать распределение величины ущерба X с помощью логарифмически нормального распределения. Если же основное влияние оказывает

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\backslash mathrm\{Log\}(p)$
Параметры
Носитель	$k\; \backslash in\; \backslash \{1,2,3,\backslash dots\backslash \}$
Функция вероятности	$\backslash frac\{-1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash ;p^k\}\{k\}$
Функция распределения	$1\; +\; \backslash frac\{\backslash Beta\_p(k+1,0)\}\{\backslash ln(1-p)\}$
Математическое ожидание	$\backslash frac\{-1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash ;\; \backslash frac\{p\}\{1-p\}$
Медиана
Мода	$1$
Дисперсия	$-p\; \backslash ;\backslash frac\{p\; +\; \backslash ln(1-p)\}\{(1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p)\}$
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов	$\backslash frac\{\backslash ln(1\; -\; p\backslash ,\backslash exp(t))\}\{\backslash ln(1-p)\}$
Характеристическая функция	$\backslash frac\{\backslash ln(1\; -\; p\backslash ,\backslash exp(i\backslash ,t))\}\{\backslash ln(1-p)\}$

Логарифмическое распределение в теории вероятностей - класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины $Y$ задаётся функцией вероятности:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb\{P\}(Y=k)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash frac\{p^k\}\{k\},\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash ldots$,

где $0$

Тогда говорят, что $Y$ имеет логарифмическое распределение с параметром $p$. Пишут: $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p)$.

Функция распределения случайной величины $Y$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash left\backslash \{$

\begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}p\_Y(k)\; =\; 1$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p)$ задаётся формулой

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\backslash left\}\{\backslash ln\}$,

$\backslash mathbb\{E\}[Y]\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash frac\{p\}\{1-p\}$, $\backslash mathrm\{D\}[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac\{p\; +\; \backslash ln(1-p)\}\{(1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p)\}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i=1\}^n$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash ldots$. Пусть $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{P\}(\backslash lambda)$ - Пуассоновская случайная величина. Тогда

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{NB\}$.

Приложения

	п Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное	Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | | Копула

Напишите отзыв о статье "Логарифмическое распределение"

Отрывок, характеризующий Логарифмическое распределение

– Отступать! Все отступать! – прокричал он издалека. Солдаты засмеялись. Через минуту приехал адъютант с тем же приказанием.
Это был князь Андрей. Первое, что он увидел, выезжая на то пространство, которое занимали пушки Тушина, была отпряженная лошадь с перебитою ногой, которая ржала около запряженных лошадей. Из ноги ее, как из ключа, лилась кровь. Между передками лежало несколько убитых. Одно ядро за другим пролетало над ним, в то время как он подъезжал, и он почувствовал, как нервическая дрожь пробежала по его спине. Но одна мысль о том, что он боится, снова подняла его. «Я не могу бояться», подумал он и медленно слез с лошади между орудиями. Он передал приказание и не уехал с батареи. Он решил, что при себе снимет орудия с позиции и отведет их. Вместе с Тушиным, шагая через тела и под страшным огнем французов, он занялся уборкой орудий.
– А то приезжало сейчас начальство, так скорее драло, – сказал фейерверкер князю Андрею, – не так, как ваше благородие.
Князь Андрей ничего не говорил с Тушиным. Они оба были и так заняты, что, казалось, и не видали друг друга. Когда, надев уцелевшие из четырех два орудия на передки, они двинулись под гору (одна разбитая пушка и единорог были оставлены), князь Андрей подъехал к Тушину.
– Ну, до свидания, – сказал князь Андрей, протягивая руку Тушину.
– До свидания, голубчик, – сказал Тушин, – милая душа! прощайте, голубчик, – сказал Тушин со слезами, которые неизвестно почему вдруг выступили ему на глаза.

Ветер стих, черные тучи низко нависли над местом сражения, сливаясь на горизонте с пороховым дымом. Становилось темно, и тем яснее обозначалось в двух местах зарево пожаров. Канонада стала слабее, но трескотня ружей сзади и справа слышалась еще чаще и ближе. Как только Тушин с своими орудиями, объезжая и наезжая на раненых, вышел из под огня и спустился в овраг, его встретило начальство и адъютанты, в числе которых были и штаб офицер и Жерков, два раза посланный и ни разу не доехавший до батареи Тушина. Все они, перебивая один другого, отдавали и передавали приказания, как и куда итти, и делали ему упреки и замечания. Тушин ничем не распоряжался и молча, боясь говорить, потому что при каждом слове он готов был, сам не зная отчего, заплакать, ехал сзади на своей артиллерийской кляче. Хотя раненых велено было бросать, много из них тащилось за войсками и просилось на орудия. Тот самый молодцоватый пехотный офицер, который перед сражением выскочил из шалаша Тушина, был, с пулей в животе, положен на лафет Матвевны. Под горой бледный гусарский юнкер, одною рукой поддерживая другую, подошел к Тушину и попросился сесть.

Случайная величина называется логарифмически-нормально распределенной, если ее логарифм подчинен нормальному закону распределения.

Это означает, в частности, что значения логарифмически-нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку. При этом в отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост, вызываемый действием каждого следующего фактора, пропорционален уже достигнутому к этому моменту значению исследуемой величины (в этом случае говорят о мультипликативном характере воздействия фактора). Математически сказанное может быть формализовано следующим образом. Если - неслучайная компонента исследуемого признака (т. е. как бы «истинное» значение в идеализированной схеме, когда устранено влияние всех случайных факторов), - численное выражение эффектов воздействия упомянутых выше случайных факторов, то последовательно трансформированные действием этих факторов значения исследуемого признака будут:

Отсюда легко получить

где . Но правая часть (6.11) есть результат аддитивного действия множества случайных факторов, что при сделанных выше предположениях должно приводить, как мы знаем (см. п. 6.1.5, а также § 7.3, посвященный центральной предельной теореме), к нормальному распределению этой суммы.

В то же время, учитывая достаточную многочисленность числа случайных слагаемых (т. е. полагая ) и относительную незначительность воздействия каждого из них (т. е. полагая ), можно от суммы в левой части (6.11) перейти к интегралу

Это. и означает в конечном счете, что логарифм интересующей нас величины (уменьшенный на постоянную величину подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением, т. е.

откуда дифференцированием по x левой и правой частей этого соотношения получаем

(правомерность использованного при вычислении тождества вытекает из строгой монотонности преобразования

Описанная схема формирования значений логарифмически-нормальной случайной величины оказывается характерной для многих конкретных физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия, работающего в режиме износа и старения и др.; см., например, , , ).

Пример 6.1. В качестве случайной величины рассматривается душевой месячный доход (в долларах) семьи некоторой совокупности семей. Обследовано n=750 семей.

Таблица 6.1

Таблица 6.2

В табл. 6.1 и 6.2 приведены результаты группировки выборочных данных и их логарифмов соответственно (ширина интервала группирования равна 25 долларам). На рис. 6.1, а, б изображены гистограммы и плотности соответственно логарифмически-нормального и нормального законов распределения.

Рис. 6 1. Гистограмма и теоретическая (модельная) плотность, характеризующие распределение семей по среднедушевому месячному доходу (а) и по логарифму среднедушевого месячного дохода (б)

Ниже приводятся результаты вычисления основных числовых характеристик логарифмически-нормального распределения (в терминах параметров закона а и ):

Из этих выражений видно, что асимметрия и эксцесс логарифмически-нормального распределения всегда положительны (и тем ближе к нулю, чем ближе к нулю ), а мода, медиана и среднее выстраиваются как раз в том порядке, который мы видим на рис. 5.8, причем они будут стремиться к слиянию (а кривая плотности - к симметрии) по мере стремления к нулю величины При этом, хотя значения логарифмически-нормальной случайной величины образуются как «случайные искажения» некоторого «истинного значения» а, последнее в конечном счете выступает не в роли среднего значения, а в роли медианы.