Herhangi bir sinyal bileşenlere ayrıştırılabilir. Bu sinyal ayrıştırmasına spektral denir. Bu durumda sinyal, sinyal parametrelerinin frekansa bağımlılığının bir grafiği olarak temsil edilebilir; böyle bir diyagrama spektral diyagram veya sinyal spektrumu denir.
Sinyal spektrumu, belirli genliklere, frekanslara ve başlangıç aşamalarına sahip bir dizi basit sinyal bileşenidir.
Sinyal spektrumu ile şekli arasında sıkı bir ilişki vardır: Sinyal şeklindeki bir değişiklik, spektrumunda bir değişikliğe yol açar ve bunun tersi de, sinyal spektrumundaki herhangi bir değişiklik, şeklinde bir değişikliğe yol açar. Bunu hatırlamak önemlidir, çünkü bir iletim sisteminde sinyalleri iletirken dönüşümlere uğrarlar, bu da spektrumlarının değiştiği anlamına gelir.
İki tür spektral diyagram vardır:
- genliklerin spektral diyagramı;
— spektral faz diyagramı.
Genlik spektral diyagramında tüm bileşenler genlikleri ve frekanslarıyla birlikte görüntülenir.
Spektral faz diyagramında tüm bileşenler başlangıç fazları ve frekanslarıyla görüntülenir.
Herhangi bir sinyalin, birçok bileşeni içerebilen bir spektral genlik diyagramı ve bir spektral faz diyagramı vardır.
Spektrumun ne olduğuna bakılmaksızın (genlikler veya fazlar), birçok çizgi - bileşen şeklinde tasvir edilir. Genlik spektrumunda spektral çizginin yüksekliği sinyal bileşeninin genliğine, faz spektrumunda ise bileşenin başlangıç fazına eşittir. Ayrıca: genlik spektrumunda tüm bileşenler pozitif değerlere sahiptir ve faz spektrumunda hem pozitif hem de negatif değerler vardır. Spektral bileşenin genliği negatif bir işarete sahipse, genlik spektrumunda modülo alınır ve faz spektrumunda bileşenin işareti tersine değişir.
Sinyal spektrumlarının sınıflandırılması.
1. Spektrumların türü farklılık gösterir ayrık(yönetildi) veya sağlam.
Ayrık bir spektrum, bireysel bileşenlerin ayırt edilebildiği bir spektrumdur.
Spektrum süreklidir ve tek tek bileşenler birbirinden ayırt edilememektedir, çünkü bunlar birbirlerine çok yakın konumlanmıştır ve birbirleriyle birleşmektedir.
2. Frekans aralığına göre spektrumları ayırt etmek sınırlı Ve sınırsız.
Sınırlı bir spektrum, tüm sinyal enerjisinin (tüm spektral bileşenler) sınırlı bir frekans aralığında (fmax ??) olduğu spektrumdur.
Sınırsız spektrum, tüm sinyal enerjisinin sınırsız bir frekans aralığında (fmax ? ?) olduğu spektrumdur. Uygulamada bu tür spektrumlar sınırlayıcıdır.
Periyodik sinyallerin spektral gösterimi
1. Harmonik salınım.
Harmonik salınımın matematiksel modeli şu şekildedir:
u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)
Buradan görülebileceği gibi matematiksel model Bu titreşimin spektrumunda frekansta olan bir harmonik bileşen vardır. Genlik spektrumundaki bileşenin yüksekliği, Ums titreşim genliğine ve faz spektrumunda titreşimin başlangıç fazına eşittir. Ayrıca spektrumu oluştururken sinyalin zaman diyagramı ile genlik spektrumu arasındaki bağlantıyı dikkate almak gerekir. Spektrum bileşeninin genliği, yükseklik olarak zaman diyagramındaki salınımın genliğine karşılık gelmelidir.
Sinyal frekansı arttıkça bileşeninin frekans ekseni boyunca sıfırdan uzaklaşacağına dikkat edilmelidir (Şekil 13).
Şekil 13 - Harmonik salınımların spektral gösterimi
Şekillerden de görülebileceği gibi harmonik titreşim spektrumu kesikli ve sınırlıdır.
2. Periyodik, harmonik olmayan sinyaller.
Bu tür sinyallerin spektral temsilinin ana özelliği, spektrumlarında birçok spektral bileşenin bulunmasıdır. Bu tür sinyaller bir Fourier serisi ile tanımlanabilir; buna göre: 
yani sinyal, sabit bir bileşenin ve birçok harmonik bileşenin toplamı ile temsil edilebilir.
Bu seriyi trigonometrik özelliği kullanarak dönüştürelim
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)
x=?k ve y=k?ct olduğunu varsayarak şunu elde ederiz:
Umk ve?k serinin parametreleri olduğundan katsayılarla gösterilebilir.
Günah mı? k = ak; Umk çünkü ?k = bk (15)
O zaman seri şöyle görünecek:
Serinin parametreleri ak ve bk katsayıları aracılığıyla belirlenebilir:
burada k=1, 2, 3…
DC bileşeninin genliği ve katsayıları u(t) sinyal değeri aracılığıyla belirlenebilir:
Seriden, eğer açıklanan sinyal f(t)=f(-t) çift bir fonksiyon ise, o zaman fonksiyon tek ise (f(t)?) bk=0 olduğundan serinin sadece kosinüs bileşenleri olacaktır. f(-t)), bu durumda rad yalnızca sinüzoidal bileşenler içerir (ak=0).
Örneği kullanarak periyodik, harmonik olmayan sinyallerin spektral temsilini ele alalım. periyodik dizi dikdörtgen darbeler (RPI).
Bir spektrum oluştururken aşağıdaki parametreleri hesaplamak gerekir:
a) sinyal görev döngüsü:
b) sabit bileşenin değeri:
c) spektrumun sinyal frekansına eşit olan ilk harmoniğinin frekansı:
d) spektrumun harmonik bileşenlerinin genlikleri:
Spektrumu oluştururken aşağıdaki özelliklere dikkat etmek gerekir:
1. Tüm harmonik bileşenler, birinci harmonik frekansın katları olan frekanslardadır (2?1, 3?1, 4?1, vb.);
2. Genlik spektrumu için:
a) SATR spektrumu lob benzeri bir karaktere sahiptir, yani spektrumda birçok “lob” ayırt edilebilir;
b) lobdaki harmonik bileşenlerin sayısı görev döngüsüne bağlıdır ve q - 1'e eşittir;
c) görev döngüsünün katları olan frekanslarda bulunan harmonik bileşenlerin genlikleri sıfıra eşittir;
d) spektrumun şekli bir zarfla gösterilir - harmonik bileşenlerin köşelerini düzgün bir şekilde birleştiren noktalı bir çizgi;
e) zarfın çıktığı nokta 2U0 veya 2I0'a eşittir.
3. Faz spektrumu için:
a) görev döngüsünün katları olmayan frekanslardaki tüm harmonik bileşenler aynı yüksekliğe, ?/2'ye (90°) eşittir;
b) bir taç yaprağındaki tüm harmonik bileşenler aynı işarete sahiptir ve komşu olanlarda zıt işarete sahiptirler.
c) görev döngüsünün katları olan frekanslardaki bileşenlerin sıfıra eşit bir başlangıç fazı vardır.
Görev döngüsü q=3 olan SATR spektrumları Şekil 14'te sunulmaktadır.
Diyagramlardan görülebileceği gibi AEFI spektrumu ayrık ve sınırsızdır. Bu nedenle, ilk iki lobun bulunduğu frekans aralığı, sinyal enerjisinin yaklaşık %95'ini içerdiğinden spektrumun genişliği olarak alınır:
Fs = 2/?i. (26)
Şekil 14 - SAI'nin spektral gösterimi: a) zaman diyagramı; b) genliklerin spektral diyagramı; c) spektral faz diyagramı
Formülden de görülebileceği gibi SATR spektrumunun genişliği yalnızca darbe süresine bağlıdır ve periyoduna bağlı değildir.
3. Periyodik olmayan sinyaller.
Periyodik olmayan sinyallerde bir periyodu ayırt etmek mümkün olmadığından, T??? nedeniyle, periyodik sinyallerle aynı yöntemi kullanarak spektrumu hesaplamak ve oluşturmak imkansızdır. Ancak tüm bilgi sinyalleri periyodik olmadığından bu tür sinyallerin spektrumunun bilinmesi gerekir. Periyodik olmayan bir sinyalin spektrumunu oluşturmak için aşağıdaki prosedür gerçekleştirilir: sinyal, spektrumun oluşturulduğu rastgele bir periyotla zihinsel olarak periyodik olarak temsil edilir. Daha sonra periyodu sonsuza (T??) yönlendirerek limit geçişi gerçekleştirilir (Şekil 15). Bu durumda birinci harmoniğin frekansı ve buna bağlı olarak harmonik bileşenler arasındaki mesafe sıfıra doğru yönelir (f1 = 1/T), böylece tüm bileşenler birbiriyle birleşerek sürekli bir spektrum oluşturur.
Şekil 15 - Darbe sinyali u(t) ve periyodik sinyal olarak gösterimi
Periyodik olmayan sinyallerin spektrumunun şekli bir zarfla (düz çizgi) gösterilir (Şekil 16).
Şekil 16 - Periyodik olmayan bir sinyalin spektral diyagramı
Bu tür sinyaller için Fourier serileri de yazılamaz çünkü bu durumda sabit bileşenin genliği ve ak ve bk katsayıları sıfıra eşittir. Bu durumda sinyalin herhangi bir andaki değerinin de sıfır olması doğru değildir. Bu nedenle bu tür sinyaller için Fourier dönüşümleri kullanılır:
İfade (27) ters bir dönüşümdür ve (28) doğrudan bir Fourier dönüşümüdür.
S(?) miktarı, periyodik olmayan sinyal u(t)'nin karmaşık spektral yoğunluğudur. Şuna eşittir:
S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)
nerede S(?) spektral yoğunluk periyodik olmayan bir sinyalin genlikleri veya genlik spektrumu ve ?(?) periyodik olmayan bir sinyalin faz spektrumudur.
Herhangi bir frekansta periyodik olmayan bir sinyalin genliklerinin spektral yoğunluğu? küçük bantta yer alan bileşenlerin toplam genliğine eşit mi? frekansın yakınında mı? 1 Hertz'e dönüştürülür.
Dikdörtgen ve üçgen darbeler için zaman diyagramları ve genlik spektral yoğunlukları Şekil 18'de gösterilmektedir:
Şekil 18 - Periyodik olmayan sinyallerin spektral gösterimi: a) kare darbe; b) üçgen darbe
Çok uzun zaman önce yoldaş, spektral analizin yardımıyla belirli bir ses sinyalini kendisini oluşturan notalara ayırmak mümkündü. Sesten biraz soyutlayalım ve spektral bileşimini oldukça doğru bir şekilde belirlemek istediğimiz sayısallaştırılmış bir sinyale sahip olduğumuzu varsayalım.
Kesimin altında kısa genel bakış dijital heterodinleme ve biraz özel Fourier büyüsü kullanarak rastgele bir sinyalden harmonikleri çıkarmak için bir yöntem.
Peki elimizde ne var?
Sayısallaştırılmış sinyal örneklerini içeren dosya. Sinyalin kendi frekansları, genlikleri ve başlangıç fazları olan sinüzoidlerin ve muhtemelen beyaz gürültünün bir toplamı olduğu bilinmektedir.
Ne yapacağız?
Kullanmak spektral analiz belirlemek için:
- sinyaldeki harmoniklerin sayısı ve her biri için: genlik, frekans (bundan sonra sinyal uzunluğu başına dalga boyu sayısı bağlamında anılacaktır), başlangıç fazı;
- beyaz gürültünün varlığı/yokluğu ve varsa standart sapması (standart sapma);
- sabit bir sinyal bileşeninin varlığı/yokluğu;
- tüm bunları blackjack ve resimlerle dolu güzel bir PDF raporuna koyun.
Biz karar vereceğiz bu görev Java'da.
Malzeme
Daha önce de söylediğim gibi, sinyalin yapısı bilinmektedir: sinüzoidlerin ve bazı gürültü bileşenlerinin toplamıdır. Öyle oldu ki, mühendislik uygulamalarında periyodik sinyallerin analizi için genellikle güçlü bir matematik cihazı yaygın olarak kullanılıyor. "Fourier analizi" . Gelin bunun nasıl bir hayvan olduğuna hızlıca bir göz atalım.Biraz özel, Fourier büyüsü
Çok uzun zaman önce, 19. yüzyılda Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier, belirli koşulları (zamanda süreklilik, periyodiklik, Dirichlet koşullarının karşılanması) karşılayan herhangi bir fonksiyonun, daha sonra onun adını alacak olan bir diziye genişletilebileceğini gösterdi: Fourier serisi .Mühendislik uygulamalarında, periyodik fonksiyonların Fourier serisine genişletilmesi, örneğin devre teorisi problemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır: sinüzoidal olmayan bir giriş etkisi, sinüzoidal olanların toplamına genişletilir ve gerekli devre parametreleri, örneğin, kullanılarak hesaplanır. süperpozisyon yöntemi.
Birkaç tane var olası seçenekler Fourier serisinin katsayılarını kaydederken sadece özünü bilmemiz gerekiyor.
Fourier serisi genişletme, sürekli bir fonksiyonu diğer sürekli fonksiyonların toplamına genişletmenize olanak tanır. Ve genel olarak serinin sonsuz sayıda terimi olacaktır.
Fourier yaklaşımının daha da geliştirilmesi, adının bütünsel dönüşümüdür. Fourier dönüşümü
.
Fourier serisinin aksine, Fourier dönüşümü, bir fonksiyonu ayrık frekanslara (genel anlamda genişlemenin ayrık olduğu Fourier serisinin frekansları kümesi) değil, sürekli olanlara genişletir.
Fourier serisinin katsayılarının Fourier dönüşümünün sonucuyla nasıl ilişkili olduğuna bir göz atalım; spektrum
.
Küçük bir açıklama: Fourier dönüşümünün spektrumu genel olarak karmaşık bir fonksiyondur. karmaşık genlikler
karşılık gelen harmonikler. Yani spektrum değerleri, modülleri karşılık gelen frekansların genlikleri olan karmaşık sayılardır ve argümanlar karşılık gelen başlangıç fazlarıdır. Uygulamada bunlar ayrı ayrı ele alınır genlik spektrumu
Ve faz spektrumu
.
Pirinç. 1. Örnek olarak genlik spektrumu kullanılarak Fourier serileri ile Fourier dönüşümü arasındaki yazışma.
Fourier serisinin katsayılarının, Fourier dönüşümünün ayrık zamanlardaki değerlerinden başka bir şey olmadığını görmek kolaydır.
Bununla birlikte, Fourier dönüşümü, zaman-sürekli, sonsuz bir fonksiyonu başka, frekans-sürekli, sonsuz bir fonksiyonla (spektrum) karşılaştırır. Peki ya zaman içinde sonsuz olan bir fonksiyonumuz yoksa, onun yalnızca bir kısmı zaman içinde kaydedilmiş ve ayrıksa? Bu sorunun cevabı şu şekilde verilmektedir: daha fazla gelişme Fourier dönüşümü - ayrık Fourier dönüşümü (DFT) .
Ayrık Fourier dönüşümü, sinyalin zamanındaki süreklilik ve sonsuzluk ihtiyacını çözmek için tasarlanmıştır. Esasen, sonsuz sinyalin bir kısmını kestiğimize inanıyoruz ve zaman alanının geri kalanını bu sinyalin sıfır olduğunu düşünüyoruz.
Matematiksel olarak bu, zamanda sonsuz olan bir f(t) fonksiyonuna sahip olduğumuzda, onu ilgilendiğimiz zaman aralığı dışında her yerde yok olan bir w(t) pencere fonksiyonuyla çarptığımız anlamına gelir.
Klasik Fourier dönüşümünün "çıktısı" bir spektrum - bir fonksiyon ise, o zaman ayrık Fourier dönüşümünün "çıktısı" ayrık bir spektrumdur. Ayrıca girişe ayrı bir sinyalin örnekleri de verilir.
Fourier dönüşümünün geri kalan özellikleri değişmez: bunlar hakkında ilgili literatürde okuyabilirsiniz.
Sadece spektrumumuzda bulmaya çalışacağımız sinüzoidal sinyalin Fourier dönüşümünü bilmemiz gerekiyor. Genel olarak bu, frekans alanında sıfır frekansa göre simetrik olan bir çift delta fonksiyonudur.
Pirinç. 2. Sinüzoidal bir sinyalin genlik spektrumu.
Daha önce de belirtmiştim, genel olarak orijinal fonksiyonu değil, bunun window fonksiyonu ile bir ürününü düşünüyoruz. O zaman, orijinal fonksiyonun spektrumu F(w) ve pencere fonksiyonu W(w) ise, çarpımın spektrumu bu iki spektrumun (F*W) evrişimi kadar hoş olmayan bir işlem olacaktır. w) (Evrişim Teoremi).
Pratikte bu, spektrumda delta işlevi yerine şunun gibi bir şey göreceğimiz anlamına gelir:
Pirinç. 3. Spektrum yayılma etkisi.
Bu etki aynı zamanda denir spektrum yayılımı
(eng. spektral sızıntı). Buna göre spektrum yayılması nedeniyle ortaya çıkan gürültü, yan loblar
(İngiliz yan lobları).
Yan loblarla savaşmak için dikdörtgen olmayan diğer pencere işlevleri kullanılır. Bir pencere fonksiyonunun "verimliliğinin" temel özelliği yan lob seviyesi
(dB). Yaygın olarak kullanılan bazı pencere fonksiyonları için yan lob seviyelerinin özet tablosu aşağıda verilmiştir.
Görevimizdeki asıl sorun şudur. yan loblar yakınlarda bulunan diğer harmonikleri maskeleyebilir.
Pirinç. 4. Harmonik spektrumları ayırın.
Verilen spektrumlar toplandığında, daha zayıf harmoniklerin daha güçlü olana dönüştüğü görülebilir.
Pirinç. 5. Yalnızca bir harmonik açıkça görülebilmektedir. Kötü.
Spektrum yayılımıyla mücadelede bir diğer yaklaşım da bu yayılmayı yaratan harmoniklerin sinyalden çıkarılmasıdır.
Yani, harmoniğin genliğini, frekansını ve başlangıç fazını belirledikten sonra, onu sinyalden çıkarabilir, aynı zamanda ona karşılık gelen "delta fonksiyonunu" ve bununla birlikte onun ürettiği yan lobları da kaldırabiliriz. Başka bir soru, istenen harmoniğin parametrelerinin doğru bir şekilde nasıl bulunacağıdır. Karmaşık genlikten sadece gerekli verileri almak yeterli değildir. Karmaşık spektrum genlikleri tam frekanslarda oluşturulur, ancak hiçbir şey bir harmoniğin kesirli bir frekansa sahip olmasını engellemez. Bu durumda, karmaşık genlik iki bitişik frekans arasında bulanık görünüyor ve diğer parametreler gibi tam frekansı da belirlenemiyor.
İstenilen harmoniğin tam frekansını ve karmaşık genliğini belirlemek için mühendislik uygulamalarının birçok dalında yaygın olarak kullanılan bir teknik kullanacağız: heterodyning .
Giriş sinyalini karmaşık harmonik Exp(I*w*t) ile çarparsak ne olacağını görelim. Sinyal spektrumu w miktarı kadar sağa kayacaktır.
Harmonik delta fonksiyonunu daha da anımsatana kadar (yani bazı yerel sinyal-gürültü oranı maksimuma ulaşana kadar) sinyalimizin spektrumunu sağa kaydırarak bu özelliğin avantajından yararlanacağız. Daha sonra istenen harmoniğin tam frekansını w 0 – w het olarak hesaplayabileceğiz ve spektrum yayılımının etkisini bastırmak için bunu orijinal sinyalden çıkarabileceğiz.
Yerel osilatör frekansına bağlı olarak spektrum değişiminin bir örneği aşağıda gösterilmiştir.
Pirinç. 6. Yerel osilatör frekansına bağlı olarak genlik spektrumunun türü.
Mevcut tüm harmonikleri kesene kadar açıklanan prosedürleri tekrarlayacağız ve spektrum bize beyaz gürültü spektrumunu hatırlatmayacaktır.
Daha sonra beyaz gürültünün standart sapmasını tahmin etmemiz gerekiyor. Burada hiçbir hile yok: standart sapmayı hesaplamak için formülü kullanabilirsiniz:
Otomatikleştirin
Harmonik çıkarmayı otomatikleştirmenin zamanı geldi. Algoritmayı bir kez daha tekrarlayalım:1. Genlik spektrumunda belirli bir k eşiğinin üzerinde küresel bir tepe noktası arıyoruz.
1.1 Eğer bulamadıysanız bitirelim
2. Yerel osilatör frekansını değiştirerek, tepe noktasının belirli bir yakınında belirli bir yerel sinyal-gürültü oranının maksimumunun elde edileceği bir frekans değeri ararız.
3. Gerekirse genlik ve faz değerlerini yuvarlayın.
4. Bulunan frekans, genlik ve faz eksi yerel osilatör frekansı ile sinyalden bir harmonik çıkarın.
5. 1. noktaya gidin.
Algoritma karmaşık değildir ve ortaya çıkan tek soru, üzerinde harmonik arayacağımız eşik değerlerinin nereden alınacağıdır?
Bu soruyu cevaplamak için harmonikleri kesmeden önce gürültü seviyesinin değerlendirilmesi gerekir.
Apsis ekseninin harmoniklerin genliği olacağı ve ordinat ekseninin argümanın bu değerini genlik olarak aşmayan harmoniklerin sayısı olacağı bir dağıtım fonksiyonu (merhaba, matematiksel istatistik) oluşturalım. Böyle oluşturulmuş bir fonksiyonun bir örneği:
Pirinç. 7. Harmonik dağılım fonksiyonu.
Şimdi bir de dağılım yoğunluğu fonksiyonu oluşturacağız. Yani dağılım fonksiyonundan sonlu farkların değerleri.
Pirinç. 8. Harmonik dağılım fonksiyonunun yoğunluğu.
Maksimum dağıtım yoğunluğunun apsisi, spektrumda en fazla sayıda meydana gelen harmoniğin genliğidir. Tepeden sağa doğru biraz uzaklaşalım ve bu noktanın apsisinin spektrumumuzdaki gürültü seviyesinin bir tahmini olduğunu düşünelim. Artık bunu otomatikleştirebilirsiniz.
Bir sinyaldeki harmonikleri tespit eden bir kod parçasına bakın
genel Dizi Listesi
heterodinParameter.setProperty("frekans", heterodinSelected);
heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spektrum.recalc();parametre.setProperty("amplitude", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic)));
parametre.setProperty("frekans", harmonik - heterodinSelected);
parametre.setProperty("faz", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonik), 1));
kesici.addSignal(parametre);
kesici.cutNext();
Spektrumun ne olduğuna bakılmaksızın (genlikler veya fazlar), birçok çizgi - bileşen şeklinde tasvir edilir. Genlik spektrumunda, spektral çizginin yüksekliği sinyal bileşeninin genliğine ve faz spektrumunda bileşenin başlangıç fazına eşittir. Ayrıca: genlik spektrumunda tüm bileşenler pozitif değerlere sahiptir ve faz spektrumunda hem pozitif hem de negatif değerler vardır. Spektral bileşenin genliği negatif bir işarete sahipse, genlik spektrumunda modülo alınır ve faz spektrumunda bileşenin işareti tersine değişir.
Sinyal spektrumlarının sınıflandırılması. 1. Görünüşe göre spektrumlar var ayrık(yönetildi) veya sağlam. Ayrık bir spektrum, bireysel bileşenlerin ayırt edilebildiği bir spektrumdur. Spektrum süreklidir ve tek tek bileşenler birbirleriyle birleşecek kadar yakın konumlandıkları için ayırt edilemezler. 2. Frekans aralığına göre spektrumları ayırt etmek sınırlı Ve sınırsız. Sınırlı bir spektrum, tüm sinyal enerjisinin (tüm spektral bileşenler) sınırlı bir frekans aralığında (fmax ??) olduğu spektrumdur. Sınırsız spektrum, tüm sinyal enerjisinin sınırsız bir frekans aralığında (fmax ? ?) olduğu spektrumdur. Uygulamada bu tür spektrumlar sınırlayıcıdır.
Periyodik sinyallerin spektral gösterimi
1. Harmonik salınım. Harmonik salınımın matematiksel modeli şu şekildedir:
u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)
Matematiksel modelden görülebileceği gibi bu titreşimin spektrumu frekanslarda yer alan bir harmonik bileşen içermektedir. Genlik spektrumundaki bileşenin yüksekliği, Ums titreşim genliğine ve faz spektrumunda titreşimin başlangıç fazına eşittir. Ayrıca spektrumu oluştururken sinyalin zaman diyagramı ile genlik spektrumu arasındaki bağlantıyı dikkate almak gerekir. Spektrum bileşeninin genliği, yükseklik olarak zaman diyagramındaki salınımın genliğine karşılık gelmelidir. Sinyal frekansı arttıkça bileşeninin frekans ekseni boyunca sıfırdan uzaklaşacağına dikkat edilmelidir (Şekil 13).
Şekil 13 - Harmonik salınımların spektral gösterimi
Şekillerden de görülebileceği gibi harmonik titreşim spektrumu kesikli ve sınırlıdır. 2. Periyodik, harmonik olmayan sinyaller. Bu tür sinyallerin spektral temsilinin ana özelliği, spektrumlarında birçok spektral bileşenin bulunmasıdır. Bu tür sinyaller bir Fourier serisi ile tanımlanabilir; buna göre: 
yani sinyal, sabit bir bileşenin ve birçok harmonik bileşenin toplamı ile temsil edilebilir.
Bu seriyi trigonometrik özelliği kullanarak dönüştürelim
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)
x=?k ve y=k?ct olduğunu varsayarak şunu elde ederiz:
Umk ve?k serinin parametreleri olduğundan katsayılarla gösterilebilir.
Günah mı? k = ak; Umk çünkü ?k = bk (15)
O zaman seri şöyle görünecek:
Serinin parametreleri ak ve bk katsayıları aracılığıyla belirlenebilir:
burada k=1, 2, 3…
DC bileşeninin genliği ve katsayıları u(t) sinyal değeri aracılığıyla belirlenebilir:
Seriden, eğer açıklanan sinyal f(t)=f(-t) çift bir fonksiyon ise, o zaman fonksiyon tek ise (f(t)?) bk=0 olduğundan serinin sadece kosinüs bileşenleri olacaktır. f(-t)), bu durumda rad yalnızca sinüzoidal bileşenler içerir (ak=0). Periyodik dikdörtgen darbe dizisi (PPPS) örneğini kullanarak periyodik, harmonik olmayan sinyallerin spektral temsilini ele alalım. Bir spektrum oluştururken aşağıdaki parametreleri hesaplamak gerekir: a) sinyal görev döngüsü:
b) sabit bileşenin değeri:
c) spektrumun sinyal frekansına eşit olan ilk harmoniğinin frekansı:
d) spektrumun harmonik bileşenlerinin genlikleri:
Bir spektrum oluştururken aşağıdaki özelliklere dikkat etmek gerekir: 1. Tüm harmonik bileşenler, ilk harmoniğin frekansının katları olan frekanslardadır (2?1, 3?1, 4?1, vb.); 2. Genlik spektrumu için: a) SPPI spektrumu lob benzeri bir karaktere sahiptir, yani spektrumda birçok “lob” ayırt edilebilir; b) lobdaki harmonik bileşenlerin sayısı görev döngüsüne bağlıdır ve q - 1'e eşittir; c) görev döngüsünün katları olan frekanslarda bulunan harmonik bileşenlerin genlikleri sıfıra eşittir; d) spektrumun şekli bir zarfla gösterilir - harmonik bileşenlerin köşelerini düzgün bir şekilde birleştiren noktalı bir çizgi; e) zarfın çıktığı nokta 2U0 veya 2I0'a eşittir. 3. Faz spektrumu için: a) görev döngüsünün katları olmayan frekanslardaki tüm harmonik bileşenler aynı yüksekliğe sahiptir, ?/2'ye (90°) eşittir; b) bir taç yaprağındaki tüm harmonik bileşenler aynı işarete sahiptir ve komşu olanlarda zıt işarete sahiptirler. c) görev döngüsünün katları olan frekanslardaki bileşenlerin sıfıra eşit bir başlangıç fazı vardır. Görev döngüsü q=3 olan SATR spektrumları Şekil 14'te gösterilmektedir. Diyagramlardan görülebileceği gibi SATR spektrumu kesikli ve sınırsızdır. Bu nedenle, ilk iki lobun bulunduğu frekans aralığı, sinyal enerjisinin yaklaşık %95'ini içerdiğinden spektrumun genişliği olarak alınır:
Fs = 2/?i. (26)
Şekil 14 - SAI'nin spektral gösterimi: a) zaman diyagramı; b) genliklerin spektral diyagramı; c) spektral faz diyagramı
Formülden de görülebileceği gibi SATR spektrumunun genişliği yalnızca darbe süresine bağlıdır ve periyoduna bağlı değildir. 3. Periyodik olmayan sinyaller. Periyodik olmayan sinyallerde bir periyodu ayırt etmek mümkün olmadığından, T??? nedeniyle, periyodik sinyallerle aynı yöntemi kullanarak spektrumu hesaplamak ve oluşturmak imkansızdır. Ancak tüm bilgi sinyalleri periyodik olmadığından bu tür sinyallerin spektrumunun bilinmesi gerekir. Periyodik olmayan bir sinyalin spektrumunu oluşturmak için aşağıdaki prosedür gerçekleştirilir: sinyal, spektrumun oluşturulduğu rastgele bir periyotla zihinsel olarak periyodik olarak temsil edilir. Daha sonra periyodu sonsuza (T??) yönlendirerek limit geçişi gerçekleştirilir (Şekil 15). Bu durumda birinci harmoniğin frekansı ve buna bağlı olarak harmonik bileşenler arasındaki mesafe sıfıra doğru yönelir (f1 = 1/T), böylece tüm bileşenler birbiriyle birleşerek sürekli bir spektrum oluşturur.
Şekil 15 - Darbe sinyali u(t) ve periyodik sinyal olarak gösterimi
Periyodik olmayan sinyallerin spektrumunun şekli bir zarfla (düz çizgi) gösterilir (Şekil 16).
Şekil 16 - Periyodik olmayan bir sinyalin spektral diyagramı
Bu tür sinyaller için Fourier serileri de yazılamaz çünkü bu durumda sabit bileşenin genliği ve ak ve bk katsayıları sıfıra eşittir. Bu durumda sinyalin herhangi bir andaki değerinin de sıfır olması doğru değildir. Bu nedenle bu tür sinyaller için Fourier dönüşümleri kullanılır:
İfade (27) ters bir dönüşümdür ve (28) doğrudan bir Fourier dönüşümüdür. Büyüklük S(?) periyodik olmayan sinyal u(t)'nin karmaşık spektral yoğunluğudur. Şuna eşittir:
S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)
burada S(?) periyodik olmayan bir sinyalin genliklerinin spektral yoğunluğu veya genlik spektrumudur ve?(?) periyodik olmayan bir sinyalin faz spektrumudur. Herhangi bir frekansta periyodik olmayan bir sinyalin genliklerinin spektral yoğunluğu? küçük bantta yer alan bileşenlerin toplam genliğine eşit mi? frekansın yakınında mı? 1 Hertz'e dönüştürülür. Dikdörtgen ve üçgen darbeler için zaman diyagramları ve genlik spektral yoğunlukları Şekil 18'de gösterilmektedir:
Şekil 18 - Periyodik olmayan sinyallerin spektral gösterimi: a) dikdörtgen darbe; b) üçgen darbe
"Sinyal" kavramı farklı şekillerde yorumlanabilir. Bu, uzaya iletilen bir kod veya işarettir, bir bilgi taşıyıcısıdır, fiziksel bir süreçtir. Uyarıların doğası ve gürültüyle ilişkileri tasarımını etkiler. Sinyal spektrumları çeşitli şekillerde sınıflandırılabilir, ancak en temellerinden biri zaman içindeki değişimleridir (sabit ve değişken). İkinci ana sınıflandırma kategorisi frekanslardır. Zaman alanında daha ayrıntılı olarak ele alırsak, aralarında şunları ayırt edebiliriz: statik, yarı statik, periyodik, tekrarlanan, geçişli, rastgele ve kaotik. Bu sinyallerin her biri, ilgili tasarım kararlarını etkileyebilecek belirli özelliklere sahiptir.
Sinyal türleri
Statik, tanımı gereği çok uzun bir süre boyunca değişmez. Düzey tarafından belirlenen yarı statik DC bu nedenle düşük sürüklenmeli amplifikatör devrelerinde işlenmesi gerekir. Bu tip sinyaller radyo frekanslarında oluşmaz çünkü bu tür devrelerin bazıları sabit bir voltaj seviyesi üretebilir. Örneğin, sabit genliğe sahip sürekli bir dalga uyarısı.
"Yarı statik" terimi "neredeyse değişmeyen" anlamına gelir ve bu nedenle uzun bir süre boyunca alışılmadık derecede yavaş değişen bir sinyali ifade eder. Dinamik uyarılardan ziyade statik uyarılara (kalıcı) benzer özelliklere sahiptir.
Periyodik sinyaller
Bunlar düzenli olarak doğru bir şekilde tekrarlananlardır. Periyodik dalga biçimlerinin örnekleri arasında sinüs, kare, testere dişi, üçgen vb. yer alır. Periyodik dalga biçiminin doğası, onun bir zaman çizgisi boyunca benzer noktalarda aynı olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, zaman çizgisi tam olarak bir periyot (T) ilerlerse, dalga biçimi değişiminin voltajı, polaritesi ve yönü tekrarlanacaktır. Gerilim dalga biçimi için bu, şu formülle ifade edilebilir: V (t) = V (t + T).
Tekrarlanan sinyaller
Doğaları gereği yarı periyodiktirler, dolayısıyla periyodik dalga biçimine bazı benzerlikleri vardır. Aralarındaki temel fark, T'nin uyarı periyodu olduğu f(t) ve f(t+T)'deki sinyalin karşılaştırılması yoluyla bulunur. Periyodik uyarılardan farklı olarak, tekrarlanan seslerde bu noktalar aynı olmayabilir, ancak çok benzer olacaktır. genel şekil dalgalar. Söz konusu uyarı, değişkenlik gösteren geçici veya stabil belirtiler içerebilir.
Geçici sinyaller ve darbe sinyalleri
Her iki tür de ya tek seferlik bir olaydır ya da sürenin dalga formunun periyoduna göre çok kısa olduğu periyodik bir olaydır. Bu şu anlama gelir: t1<<< t2. Если бы эти сигналы были переходными процессами, то в радиочастотных схемах намеренно генерировались бы в виде импульсов или переходного режима шума. Таким образом, из вышеизложенной информации можно сделать вывод, что фазовый спектр сигнала обеспечивает колебания во времени, которые могут быть постоянными или периодическими.
Fourier serisi
Tüm sürekli periyodik sinyaller, temel bir sinüs frekansı frekansı ve doğrusal olarak toplamı olan bir dizi kosinüs harmonikleri ile temsil edilebilir. Bu titreşimler şişme formları içerir. Temel sinüs dalgası şu formülle tanımlanır: v = Vm sin(_t), burada:
- v - anlık genlik.
- Vm - tepe genliği.
- "_" - açısal frekans.
- t - saniye cinsinden süre.
Periyot, aynı olayların tekrarları arasındaki süredir veya T = 2 _ / _ = 1 / F, burada F, döngülerdeki frekanstır.
Dalga biçimini oluşturan Fourier serisi, belirli bir niceliğin, frekans seçici filtreler dizisi veya hızlı dönüşüm adı verilen bir dijital sinyal işleme algoritması aracılığıyla bileşen frekanslarına ayrıştırılması durumunda bulunabilir. Sıfırdan inşa etme yöntemi de kullanılabilir. Herhangi bir dalga biçimi için Fourier serisi şu formülle ifade edilebilir: f(t) = a o/2+ _ n -1 )