Literatür: [L.1], s. 50-51

[L.2], s.65-66

[L.3], s.24-25

Çözmek için pratik problemler Radyo mühendisliği için sinyal spektrumunun süresini, genişliğini ve aralarındaki ilişkiyi bilmek son derece önemlidir. Bir sinyalin süresini bilmek, mesajların iletilmesi için mevcut zamanın verimli kullanılmasıyla ilgili sorunları çözmemize olanak tanır ve spektrum genişliğine ilişkin bilgi, radyo frekansı aralığını etkin bir şekilde kullanmamıza olanak tanır.

Bu sorunların çözümü, “etkili süre” ve “etkili spektrum genişliği” kavramlarının kesin bir şekilde tanımlanmasını gerektirir. Uygulamada sürenin belirlenmesine yönelik çok sayıda yaklaşım vardır. Sinyalin zamanla sınırlı olduğu durumda (bitiş sinyali), örneğin aşağıdaki durumlarda olduğu gibi: dikdörtgen darbe, sürenin belirlenmesinde herhangi bir zorluk yaşanmaz. Sinyal teorik olarak sonsuz bir süreye (örneğin üstel bir darbe) sahip olduğunda durum farklıdır.

Bu durumda sinyal değerinin geçerli olduğu zaman aralığı etkin süre olarak alınabilir. Başka bir yöntemde, hangi zaman aralığı . Etkin spektral genişliğin belirlenmesi konusunda da aynı şey söylenebilir.

Gelecekte bu yöntemlerden bazıları radyo sinyallerinin ve devrelerin analizinde kullanılacak olsa da, yöntem seçiminin önemli ölçüde sinyalin şekline ve spektrumun yapısına bağlı olduğunu belirtmek gerekir. Dolayısıyla, üstel bir darbe için bu yöntemlerden ilki daha çok tercih edilirken, çan şeklindeki bir sinyal için ikinci yöntem daha çok tercih edilir.

Daha evrensel bir yaklaşım ise enerji kriterlerinin kullanılmasıdır. Bu yaklaşımla, etkin süre ve etkin spektrum genişliği, sırasıyla sinyal enerjisinin büyük çoğunluğunun yoğunlaştığı zaman aralığı ve frekans aralığı dikkate alınır.

, (2.52)

, (2.53)

enerjinin ne kadarının aralıklarda yoğunlaştığını gösteren bir katsayı nerede veya . Genellikle değer içinde seçilir .

Dikdörtgen ve üstel darbelerin spektrumunun süresini ve genişliğini belirlemek için (2.52) ve (2.53) kriterlerini uygulayalım. Dikdörtgen bir darbe için, tüm enerji zaman aralığında yoğunlaşır, dolayısıyla süresi . Etkin spektrum genişliğine gelince, darbe enerjisinin %90'ından fazlasının spektrumun ilk lobunda yoğunlaştığı bulunmuştur. Nabzın tek yönlü (fiziksel) spektrumunu düşünürsek, spektrumun ilk lobunun genişliği dairesel frekanslarda veya döngüsel frekanslardadır. Bundan, dikdörtgen bir darbenin spektrumunun etkin genişliğinin şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Üstel momentumun tanımına geçelim. Toplam darbe enerjisi

.

(2.52)'yi kullanarak şunu elde ederiz:

.

Denklemin sol tarafındaki integrali hesaplayıp çözerek aşağıdaki sonuca ulaşabiliriz:

.

Fourier dönüşümünü kullanarak üstel darbenin spektrumunu buluyoruz

,

nereden geliyor

.

Bu ifadeyi (2.53)'te yerine koyup denklemi çözerek şunu elde ederiz:

.

Etkin süre ile etkin spektrum genişliğinin çarpımını bulalım. Dikdörtgen bir darbe için bu ürün

,

veya döngüsel frekanslar için

.

Üstel momentum için

Dolayısıyla, tek bir sinyalin etkin süresi ile spektrumunun etkin genişliğinin çarpımı, yalnızca sinyalin şekline ve katsayı değerine bağlı olan sabit bir değerdir. Bu, sinyalin süresi azaldıkça spektrumunun genişlediği ve bunun tersi anlamına gelir. Bu gerçek, Fourier dönüşümünün (2.46) özelliği dikkate alınırken zaten belirtilmişti. Uygulamada bu, fiziksel bir sinyalin tezahürü olan dar spektrumlu kısa bir sinyal üretmenin imkansız olduğu anlamına gelir. belirsizlik ilkesi.

Teorik olarak Fourier serisi sonsuz sayıda terim içerir, dolayısıyla teorik olarak spektrumun genişliği sonsuzdur. Bu nedenle bu tür sinyaller için pratik spektrum genişliği kavramı tanıtılmıştır. Bir cihazın bant genişliği, dalga biçimini önemli ölçüde etkileyen tüm harmonikleri geçirecek kadar geniş değilse, o cihazın çıkışı bozulacaktır. Cihaz bant genişliği sinyal spektrum genişliğinden daha dar olmamalıdır.

Pratik sinyal spektrum genişliğini belirlemek için çeşitli kriterler vardır:

1. Spektrumdaki maksimum genliğin %1'inden daha düşük genliğe sahip tüm harmonikleri göz ardı edebilirsiniz. Daha sonra harmoniklerin frekansı sinyal spektrumunun genişliğini belirleyecektir ( ∆ ω İLE ):

2. Enerji kriteri. Toplam gücü toplam sinyal gücünün %10'undan az olan harmonikleri atabilirsiniz. Bu durumda spektrumun genişliği de sinyalde kalan harmonikler tarafından belirlenir.

Bununla birlikte, sinyal spektrum genişliğinin belirlendiği kritere bakılmaksızın, tüm sinyaller için ortak olan modelleri tanımlamak mümkündür:

Sinyal cephesi ne kadar dik olursa darbeler o kadar kısa olur,

Darbeler arasındaki duraklama ne kadar uzun olursa, sinyalin spektrumu o kadar geniş olur, yani harmonik genlikler sayıları arttıkça azalır.

Harmoniklere göre sinyal gücü dağılımı

Periyodik sinyaller, periyot başına ortalama güç ile karakterize edilir:

.

Eğer S gerilim veya akımdır, o zaman P – bu 1 ohm'luk dirençteki güçtür.

Yerine S ( T ) Fourier serisini değiştirebilirsiniz:

,

,

Nerede
- sabit bileşen gücü,

- güç N harmonikler.

Ortalama güç periyodik sinyal sabit bileşenin gücünün toplamına eşit P 0 ve her harmoniğin ortalama güçlerinin toplamı P N .

,

Nerede N – dikkate alınan harmoniklerin sayısı (cihaz tarafından iletilen). Örneğin,
, eğer ∆ P= Tam sinyal gücünün %90'ı.

Pratik spektrum genişliği şuna eşittir:

,

Nerede N– dikkate alınan en yüksek harmoniğin sayısı, yani spektrumun pratik genişliği, dikkate alınan en yüksek harmoniğe eşittir.

Çeşitli görevler için gerekli bant genişlikleri:

Periyodik olmayan sinyallerin spektral analizi

Periyodik olmayan sinyallerin spektral analizi, frekans alanındaki periyodik olmayan sinyallerin özelliklerinin tanımlanması ve incelenmesidir. Periyodik olmayan sinyallerin spektral analizi, integral Fourier dönüşümleri temelinde gerçekleştirilir.

Doğrudan Fourier dönüşümü:

Nerede - karmaşık bir değer.

Doğrudan Fourier dönüşümü, sinyalin zaman modelinden frekans modeline geçişi sağlar

[
] .

Ters Fourier dönüşümü:

Ters Fourier dönüşümü, sinyali frekans modeline göre yeniden yapılandırır. [
] .

Bu Fourier dönüşümü çifti, iki sinyal modeli (zaman ve frekans modelleri) arasında bire bir yazışma kurar:

.

İşlev
- Bu " spektral yoğunluk", veya " spektral fonksiyon”veya basitçe periyodik olmayan bir sinyalin spektrumu S(T) . Çünkü
frekansın sürekli bir fonksiyonu ise, periyodik olmayan bir sinyalin spektrumu sürekli bir spektrumdur (periyodik sinyallerin ayrık spektrumunun aksine).

genel durumda karmaşık bir fonksiyondur ve üstel biçimde temsil edilebilir:

Periyodik olmayan bir sinyalin genlik ve faz spektrumları vardır.

Genlik spektrumu modülün frekans dağılımıdır spektral yoğunluk:

Faz spektrumu spektral yoğunluğun fazlarının (argümanlarının) frekans dağılımıdır:

.

Genlik spektrumu frekansın eşit bir fonksiyonudur;
. Faz spektrumu frekansın tuhaf bir fonksiyonudur;
.

Örnek spektral diyagram:

Genlik spektrumu

F Az spektrum

Teorik olarak yukarıda bahsedildiği gibi çoğu periyodik fonksiyon için spektrum sınırsızdır; Telemekanik sinyallerin şeklini değiştirmeden iletilmesi için, iletişim kanalının sonsuz geniş bant genişliği ve genlik ve faz bozulmalarının olmaması gerekir. Hemen hemen tüm iletişim kanalları sınırlı bir bant genişliğine sahiptir ve kanaldan iletim sırasında sinyallerin şekli, bu bantta genlik ve faz bozulmaları olmasa bile değişir. Açıkçası, sinyal spektrumunun nispeten büyük genlikli harmonik bileşenleri içeren kısmını iletmek önemlidir. Bu bağlamda pratik sinyal spektrum genişliği kavramı tanıtılmaktadır. Sinyal spektrumunun pratik genişliği, önceden belirlenmiş bir değeri aşan genliklere sahip sinyalin harmonik bileşenlerinin içinde yer aldığı frekans aralığı olarak anlaşılmaktadır.

1 Ohm aktif dirençte bir sinyal tarafından salınan ortalama güç, bu dirençte harmonik bileşenler tarafından salınan güçlerin toplamı olduğundan,

Enerji açısından pratik spektrum genişliği, sinyal gücünün büyük çoğunluğunun yoğunlaştığı frekans aralığı olarak tanımlanabilir.

Örnek olarak pratik spektrum genişliğini belirleyelim. periyodik dizi dikdörtgen darbeler (Şekil 1.8, a), genlikleri ilk harmoniğin genliğinin 0,2'sinden fazla olan sinyalin tüm harmonik bileşenlerini hesaba katmak gerekirse. Dikkate alınması gereken harmonik sayısı k ifadesinden elde edilebilir

,

Neresi k= 5.

Böylece, ele alınan örnekteki pratik spektrum genişliğinin 5W1'e eşit olduğu ortaya çıkıyor, yalnızca üç harmonik (birinci, üçüncü ve beşinci) ve sabit bir bileşen içeriyor.

Ortalama güç Pk Listelenen bileşenler tarafından 1 Ohm'a eşit bir aktif dirençte tahsis edilen 5, şuna eşittir:

Tüm sinyal bileşenleri tarafından aynı dirençte salınan ortalama güç,

Böylece, %, yani Pratik spektrumda yer alan bileşenler, toplam sinyal gücünün %96'sını aktif dirençte tahsis eder.

Açıkçası, pratik aralığı genişletmek verilen sinyal(5W 1'in üzerinde) enerji açısından pratik değildir.

Sinyal spektrumunun sınırlandırılması aynı zamanda şeklini de etkiler. Şekil 2'deki gösterim için. Şekil 1.8, spektrumdaki yalnızca sabit bileşeni ve birinci harmoniği korurken dikdörtgen darbelerin şeklindeki değişimi göstermektedir (Şekil 1.8, B), spektrum 3W 1 frekansıyla sınırlı olduğunda (Şekil 1.8, V) ve spektrum 5W1 frekansıyla sınırlı olduğunda (Şekil 1.8, G). Şekilden de anlaşılacağı gibi, darbe cephesi ne kadar dik olursa, sinyalde o kadar yüksek harmonik bileşenlerin bulunması gerekir.

bir 0 +bir 1 (T)

A 0 +Bir 1 (T)+Bir 3 (T) A 0 +Bir 1 (T)+Bir 3 (t)+A 5 (T)

		V		G

Pirinç. 1.8. Bir dizinin spektrumu sınırlı olduğunda dalga biçimleri

dikdörtgen darbeler

Periyodik bir sinyalin şeklinin toplanan harmoniklerin sayısına olan bağımlılığı, sinyal spektrumunun pratik genişliğini seçerken yalnızca enerji hususlarıyla sınırlandırılamayacağını göstermektedir. Sistemin çıkışındaki sinyalin gerekliliklerini hem enerji açısından hem de şeklini koruma açısından dikkate almak gerekir. Genel durumda, sinyal spektrumunun pratik genişliği şu koşula göre seçilir:

, (1.21)

burada m = 0,5... 2 – darbe şekli faktörü; m = 1 olduğunda toplam sinyal enerjisinin yaklaşık %90'ı iletilir.

Darbe kodlu uzaktan ölçüm sistemlerinde ve birçok telekontrol sisteminde her kod kombinasyonu aşağıdakilerden oluşur: belirli bir sıra dikdörtgen darbeler ve duraklamalar. Ölçülen parametrenin veya komutun belirli bir değerine karşılık gelen kod kombinasyonu, iletişim kanalı üzerinden periyodik olarak iletilebilir. Böyle bir sinyalin spektrumu elbette hangi kod kombinasyonunun iletildiğine bağlıdır. Ancak spektrumdaki daha yüksek harmoniklerin oranını belirleyen en önemli faktör, en yüksek darbe tekrarlama frekansıdır. Bu nedenle, darbe kod sistemleri için, pratik olarak gerekli frekans bant genişliğini belirlerken, periyodik dikdörtgen darbe dizisi biçiminde bir sinyal seçilir (Şekil 1.5). Parametre T kod kombinasyonlarında bulunan tüm darbeler arasında en kısa darbenin süresine eşit olarak seçilir, tekrarlama süresi T= 2t. Bu durumda en yüksek darbe tekrarlama oranı Wmax = 2p/ T ve spektrumun temel harmoniğinin frekansı W 1 = W max. Gerekli sinyal bant genişliği, sınırlı sayıda bileşene sahip ayrı bir spektrum tarafından ve ifadeye (1.21) göre belirlenir.

Gerekli frekans bandını belirleyen spektrumun doğası yalnızca sinyal türüne değil aynı zamanda iletim yolunda mevcut koşullara da bağlıdır. Bir darbenin iletimi sırasında sistemde meydana gelen geçici süreçler bir sonraki darbe meydana gelmeden önce sona eriyorsa, periyodik darbe dizisi yerine bağımsız tek darbelerin iletimi düşünülebilir.

Sinyal süresi ne kadar kısa olursa spektrumunun o kadar geniş olacağı bizim için zaten açık.

Sinyal teorisinin bu temel konumu şu şekilde oluşturulabilir: genel görünüm Fourier dönüşümüne dayalı

Ω arttıkça her bir integralin davranışını ele alalım.

Riemann lemmasına uygun olarak, eğer s(t) fonksiyonu aralıkta mutlak olarak integrallenebilirse o zaman şunu belirtir:

Bu ifadenin geometrik anlamı, üst kısmında bazı rasgele sinyaller s(t) ve Ω frekansı ile harmonik bir salınımın ve alt kısmında bunların çarpımının gösterildiği bir şekil ile gösterilmektedir.

Yeterince yüksek bir frekansta Ω, her pozitif yarım dalga kendisine en yakın negatif yarım dalga tarafından neredeyse tamamen telafi edilir ve s(t)cos(Ωt) veya s(t)sin(Ωt) eğrisinin altındaki toplam alan şu şekildedir: sıfıra yakın. Yeterince yüksek bir frekans, T periyodunun s(t) sinyalinin süresine kıyasla yeterince küçük olduğu Ω=2π/T frekansı olarak anlaşılmalıdır.

Açıkçası, sinyal ne kadar kısa olursa, bu duruma karşılık gelen T periyodu da o kadar kısa olur.

Başka bir deyişle, sinyal ne kadar kısa olursa sinyal spektrumunun kesme frekansı da o kadar yüksek olur. Spektrumun alt sınırı sıfır frekansa bitişik olduğundan, sinyal süresi ne kadar kısa olursa genel spektrum da o kadar geniş olur. Sürenin çarpımının ve spektrumunun "teknik" genişliğinin birliğe yakın bir değer olduğu ortaya çıktı.

Daha önce eşdeğer sürenin niteliksel bir tanımını vermiştik; daha kesin olarak şu şekilde tanımlanabilir;

Ayrıca, zaman sayımının başlangıcı darbenin ortasıyla çakışır, böylece koşul sağlanır.

Benzer şekilde, eşdeğer spektrum genişliği ΔΩ=2πΔF şu şekilde verilir:

Ek koşullar altında

Ω ekseninde frekans referansının kökeninin belirtilmesi.

Sinyal, enerjisi E birliğe eşit olacak şekilde normalleştirilirse;

τ ve ΔΩ için bu ifade, sinyal şekline bağlı olarak hiçbir durumda ½'den küçük olamaz.

Böylece herhangi bir sinyal için τ ve ΔF≥1/4π koşulu sağlanır.

Özellikle, daha önce elde edilen sonuçlara dayanarak Gauss darbesi için şunu buluruz:

Normalleştirme koşulunu kullanma

aldık

Bu örnekten, tüm Gauss sinyalleri arasında darbenin τ ve ΔF çarpımının mümkün olan en küçük değerine sahip olduğu açıktır.

Örneğin, ortaya çıktığı anı ölçmenin doğruluğunu artırmak için bir darbenin zaman içinde sıkıştırılmasına, kaçınılmaz olarak darbe spektrumunun genişlemesi eşlik eder, bu da ölçüm cihazının bant genişliğini genişletmeye zorlar. Benzer şekilde, örneğin frekans ölçümlerinin doğruluğunu arttırmak amacıyla darbe spektrumunun sıkıştırılmasına kaçınılmaz olarak sinyalin zaman içinde uzatılması eşlik eder, bu da gözlem (ölçüm) zaman periyodunun arttırılmasını gerektirir. Bir sinyalin eş zamanlı olarak dar bir bantta sıklıkla ve kısa sürede yoğunlaştırılamaması, fizikte bilinen belirsizlik ilkesinin tezahürlerinden biridir.

Çalışmada sıfır sayısının artmasıyla FM sinyalinin karmaşık zarfının spektrumunun daha yüksek frekanslar bölgesine kaydığı kaydedildi. Bu, prensip olarak bir FM sinyalinin spektrumu aynı şekilde sıfıra eşit olmadığından (ölçüsü sıfır olan noktalar kümesi hariç), sinyal enerjisinin ana kısmının yoğunlaştığı spektrumun bu kısmının yer değiştirmesini ifade eder. ) tüm frekans ekseni boyunca belirlemek için.

Spektrum kayması için, aşağıdaki ilişkiyle belirlenen etkin spektrum genişliği kavramını kullanabilirsiniz; örneğin )

PM sinyalleri durumunda, paydaki integral farklılaşır ve tanım (11.8) hiçbir anlam ifade etmez. Ancak FM sinyalinin enerjisinin ana kısmının ilk sıfırlar arasında yoğunlaştığı göz önüne alındığında, paydaki integralin sonsuz limitleri, değişkene geçerek fonksiyonun çift olduğu dikkate alınarak değiştirilebilir. ve paydadaki (11.8) integral eşittir, FM sinyalinin karmaşık zarfının spektrumunun etkin genişliğini bloklarla aşağıdaki gibi belirleriz:

(11.6)'yı (11.9)'a koyarsak, şunu elde ederiz:

yani bu tanımla periyodik fonksiyonun (11.7) dönem içindeki integrali ile orantılıdır. İntegralden sonra şunu buluruz.

Bu nedenle, bir FM sinyali ne kadar çok bloka sahipse, o kadar büyük olur. Tabloda 11.1, yapılarında birbirinden önemli ölçüde farklılık gösteren çeşitli FM sinyallerinin değerlerini gösterir.

Tablonun ilk satırında. Şekil 11.1, yalnızca bir blok süreli dikdörtgen bir darbeye ilişkin verileri göstermektedir. Bu örnek, en az sayıda blok içeren bir FM sinyaline karşılık gelir. İçinde

Tablo 11.1 (bkz. tarama)

Tablonun ikinci satırı. Şekil 11.1, en fazla blok sayısına sahip bir FM sinyalinin verilerini göstermektedir. Bu FM sinyali (kıvrımlı), bir alternatif darbe dizisini temsil eder. Bir menderes için ne maksimum değer. Üçüncü satır, böyle bir sinyal için maksimum değerin yarısına sahip olan optimum FM sinyaline ilişkin verileri gösterir. Bu nedenle, optimal PM sinyallerinin etkili spektral genişliği, kare darbe ve kare dalga için iki uç değere karşılık gelen değerlerin yaklaşık yarısı kadardır. Son satır, enerji spektrumu tek bir süreli darbenin enerji spektrumuyla çakışan darbelerden oluşan ideal (varsayımsal) bir sinyalin spektrumunun etkin genişliğini gösterir.