Yüzeyde.

Eğrisel koordinatların yerel özellikleri

Eğrisel koordinatları dikkate alırken bu bölüm x, y, z Kartezyen koordinatlarıyla donatılmış üç boyutlu bir uzayı (n = 3) düşündüğümüzü varsayacağız. Diğer boyutların durumu yalnızca koordinat sayısında farklılık gösterir.

Öklid uzayı durumunda, yay diferansiyelinin karesi olarak da adlandırılan metrik tensör, bu koordinatlarda birim matrise karşılık gelen forma sahip olacaktır:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Genel dava

İzin vermek $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- x, y, z'nin düzgün fonksiyonları olarak kabul edeceğimiz belirli eğrisel koordinatlar. Üç fonksiyona sahip olmak $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ Uzayın belirli bir bölgesinde koordinat görevi gören bir ters eşlemenin varlığı gereklidir:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right.$

Nerede $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- kümelerin bazı etki alanlarında tanımlanan işlevler $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ koordinatlar

Yerel baz ve tensör analizi

Tensör hesabında yerel temel vektörleri tanıtabiliriz: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Nerede $\backslash mathbf\; e\_i$- Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleri, $Q^i\_j$- Jacobi matrisi, $x^i$ Kartezyen sistemdeki koordinatlar, $evet\; ben$- eğrisel koordinatlar girildi.
Genel anlamda eğrisel koordinatların noktadan noktaya değiştiğini görmek zor değildir.
Eğrisel ve Kartezyen koordinatlar arasındaki bağlantının formüllerini verelim:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Nerede $P^j\_i\; Q^i\_j=E$ burada E birim matristir.
İki yerel temel vektörün çarpımı bir metrik matris oluşturur:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Nerede $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravaryant, kovaryant ve karışık Kronecker sembolü
Böylece herhangi bir tensör alanı $\backslash \; mathbf\; T$ rütbe n yerel poliadik temele genişletilebilir:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Örneğin, birinci dereceden tensör alanı (vektör) durumunda:
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonal eğrisel koordinatlar

Öklid uzayında dik eğrisel koordinatların kullanımı özellikle önemlidir çünkü uzunluk ve açılarla ilgili formüller dik koordinatlarda genel duruma göre daha basit görünür. Bunun nedeni, ortonormal tabanlı sistemlerdeki metrik matrisin köşegen olması ve bu da hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirecektir.
Bu tür sistemlere örnek olarak küresel sistem gösterilebilir. $\backslash mathbb(R)^2$

Lamé katsayıları

Eğrisel koordinatlardaki yayın diferansiyelini şu şekilde yazalım (Einstein'ın toplama kuralını kullanıyoruz):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \sağ)^2 , ~ i=1,2,3

Koordinat sistemlerinin dikliğini dikkate alarak ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ en $ben\; \backslash ne\; j$) bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Pozitif miktarlar $MERHABA\backslash$ uzaydaki bir noktaya bağlı olarak Lamé katsayıları veya ölçek faktörleri olarak adlandırılır. Lamé katsayıları, belirli bir nokta için bir koordinat biriminde kaç birim uzunluk bulunduğunu gösterir ve bir koordinat sisteminden diğerine hareket ederken vektörleri dönüştürmek için kullanılır.

Koordinatlarla yazılmış Riemann metrik tensörü $(q\_i)$, köşegeninde Lamé katsayılarının kareleri olan çapraz bir matristir:

Örnekler

Kutupsal koordinatlar ( N=2)

Bir düzlemdeki kutupsal koordinatlar, direğe olan mesafeyi (başlangıç) ve yönü (açı) φ içerir.

Kutupsal koordinatlar ile Kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrix)\backslash right.$

Lamé katsayıları:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matris)$

Ark farkı:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Başlangıç ​​noktasında φ fonksiyonu tanımlı değildir. φ koordinatı bir sayı olarak değil, bir açı (birim çember üzerinde bir nokta) olarak kabul edilirse, kutupsal koordinatlar, başlangıç ​​noktası kaldırılarak tüm düzlemden elde edilen alanda bir koordinat sistemi oluşturur. Eğer hala φ'yi bir sayı olarak kabul edersek, o zaman belirlenen alanda çok değerli olacaktır ve katı bir matematiksel koordinat sisteminin inşası yalnızca koordinatların kökenini içermeyen basit bir şekilde bağlanmış bir alanda mümkündür, örneğin , ışınsız bir düzlemde.

Silindirik koordinatlar ( N=3)

Silindirik koordinatlar, kutupsal olanların üç boyutlu uzay durumuna üçüncü bir z koordinatı eklenerek önemsiz bir genelleştirilmesidir. Silindirik koordinatlar ile Kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash \backslash \; z\; =\; z.\backslash end(matrix)\backslash right.$

Lamé katsayıları:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matrix)$

Ark farkı:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Küresel koordinatlar ( N=3)

Küresel koordinatlar birim küre üzerindeki enlem ve boylam koordinatlarıyla ilişkilidir. Küresel koordinatlar ile Kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(matrix)\backslash right.$

Lamé katsayıları:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash teta\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matris)$

Ark farkı:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Silindirik koordinatlar gibi küresel koordinatlar da z ekseninde ( x =0, y =0) çalışmaz, çünkü φ koordinatı burada tanımlanmamıştır.

Düzlemde çeşitli egzotik koordinatlar ( N=2) ve genellemeleri

"Eğrisel koordinat sistemi" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

• Korn G., Korn T. Matematik el kitabı (bilim adamları ve mühendisler için). - M .: Nauka, 1974. - 832 s.

Koordinatların adı Koordinat sistemi türleri 2 boyutlu koordinatlar 3 boyutlu koordinatlar $N$ boyutlu koordinatlar Fiziksel koordinatlar İlgili tanımlar

Eğrisel koordinat sistemini karakterize eden bir alıntı

"Bize saldırabilseydi bugün yapardı" dedi.
Langeron, "Bu yüzden onun güçsüz olduğunu düşünüyorsun," dedi.
Weyrother, bir doktorun tedaviyi göstermek istediği bir doktorun gülümsemesiyle, "40 bin askeri varsa çok," diye yanıtladı.
Langeron, onay almak için en yakınındaki Miloradovich'e bakarak ince, alaycı bir gülümsemeyle, "Bu durumda, saldırımızı bekleyerek ölüme gidecek," dedi.
Ancak Miloradovich'in o anda en az generallerin ne hakkında tartıştığını düşündüğü belliydi.
"Ma foi, [Tanrım," dedi, "yarın savaş alanındaki her şeyi göreceğiz."
Weyrother, Rus generallerin itirazlarıyla karşılaşmanın ve sadece kendisinin değil, imparatorların da emin olduğu şeyi kanıtlamanın kendisi için komik ve tuhaf olduğunu söyleyen o gülümsemeyle yeniden sırıttı.
"Düşman yangınları söndürdü ve kampında sürekli bir gürültü duyuluyor" dedi. - Bu ne anlama geliyor? “Ya uzaklaşır ki korkmamız gereken tek şey budur, ya da pozisyonunu değiştirir (sırıttı). Ama Tyuras'ta görev alsa bile bizi yalnızca pek çok beladan kurtarır ve tüm emirler, en küçük ayrıntısına kadar aynı kalır.
Uzun zamandır şüphelerini ifade etme fırsatını bekleyen Prens Andrey, "Nasıl yani?" dedi.
Kutuzov uyandı, boğazını iyice temizledi ve generallere baktı.
"Beyler, yarının mizacını bugün bile değiştiremezsiniz (çünkü daha ilk saattir)" dedi. “Onu duydunuz ve hepimiz görevimizi yapacağız.” Ve bir savaştan önce, iyi bir gece uykusu çekmekten daha önemli bir şey yoktur (durakladı).
Ayağa kalkıyormuş gibi yaptı. Generaller veda edip gittiler. Saat gece yarısını çoktan geçmişti. Prens Andrei ayrıldı.

Prens Andrei'nin umduğu gibi fikrini ifade edemediği askeri konsey, onun üzerinde belirsiz ve endişe verici bir izlenim bıraktı. Kimin haklı olduğunu bilmiyordu: Dolgorukov ve Weyrother mi yoksa Kutuzov ve Langeron ve saldırı planını onaylamayan diğerleri. “Ama Kutuzov'un düşüncelerini doğrudan hükümdara ifade etmesi gerçekten imkansız mıydı? Bu gerçekten farklı şekilde yapılamaz mı? Mahkeme ve şahsi çıkarlar uğruna onbinleri ve benim hayatımı riske atmak gerçekten gerekli mi?” düşündü.
“Evet, yarın seni öldürmeleri çok muhtemel” diye düşündü. Ve aniden, bu ölüm düşüncesiyle, hayalinde en uzak ve en samimi bir dizi anı canlandı; babasına ve karısına son vedasını hatırladı; ona olan aşkının ilk zamanlarını hatırladı! Hamileliğini hatırladı ve hem kendisi hem de kendisi için üzüldü ve gergin bir şekilde yumuşamış ve heyecanlı bir halde Nesvitsky ile birlikte durduğu kulübeden çıkıp evin önünde yürümeye başladı.
Gece sisliydi ve ay ışığı gizemli bir şekilde sisin içinden çıkıyordu. “Evet, yarın, yarın! - düşündü. “Yarın belki benim için her şey bitecek, bütün bu anılar artık olmayacak, bütün bu anıların artık benim için bir anlamı olmayacak.” Yarın, belki, hatta muhtemelen yarın, bunu öngörüyorum, ilk kez nihayet yapabileceğim her şeyi göstermek zorunda kalacağım." Ve savaşı, kaybı, savaşın tek bir noktada yoğunlaşmasını ve tüm komutanların kafa karışıklığını hayal etti. Ve şimdi o mutlu an, uzun zamandır beklediği Toulon nihayet karşısına çıkıyor. Fikrini Kutuzov'a, Weyrother'e ve imparatorlara kesin ve net bir şekilde söylüyor. Herkes onun fikrinin doğruluğuna hayret ediyor, ama kimse bunu uygulamaya kalkışmıyor ve o da bir alay, bir tümen alıyor, emirlerine kimsenin müdahale etmemesi için bir şart beyan ediyor ve tümenini belirleyici noktaya kadar götürüyor. ve tek başına kazanır. Peki ya ölüm ve acı? diyor başka bir ses. Ancak Prens Andrey bu sese cevap vermiyor ve başarılarına devam ediyor. Bir sonraki savaşın düzeni yalnızca onun tarafından yapılır. Kutuzov'un emrinde subay rütbesine sahip ama her şeyi tek başına yapıyor. Bir sonraki savaşı tek başına kendisi kazandı. Kutuzov değiştirildi, atandı... Peki ya sonra? yine başka bir ses konuşur ve eğer daha önce on kez yaralanmamış, öldürülmemiş veya aldatılmamışsan; Peki o zaman ne olacak? "Peki, o zaman," diye yanıtlıyor Prens Andrey kendi kendine, "Bundan sonra ne olacağını bilmiyorum, istemiyorum ve bilemem: ama eğer bunu istersem, şöhret isterim, olmak isterim ünlü insanlar, Onlar tarafından sevilmek istiyorum, o zaman bunu istemem, bunu tek başıma istemem benim suçum değil, bunun için yaşıyorum. Evet, sırf bunun için! Bunu asla kimseye söylemeyeceğim ama aman Tanrım! Şöhretten, insan sevgisinden başka hiçbir şeyi sevmiyorsam ne yapmalıyım? Ölüm, yaralar, aile kaybı, hiçbir şey beni korkutmuyor. Ve birçok insan benim için ne kadar değerli ve sevgili olursa olsun - babam, kız kardeşim, karım - benim için en değerli insanlar - ama ne kadar korkutucu ve doğal görünmese de, şimdi hepsini bir anlık zafer için vereceğim, Kutuzov'un bahçesindeki konuşmayı dinlerken, insanlara karşı zafer kazanacağım, tanımadığım ve tanımayacağım insanlara olan sevgim için, bu insanların sevgisi için" diye düşündü. Kutuzov'un avlusunda görevlilerin sesleri duyuldu; Muhtemelen arabacı olan bir ses, Prens Andrei'nin tanıdığı ve adı Titus olan eski Kutuzovski aşçısıyla dalga geçerek şöyle dedi: "Titus, peki ya Titus?"
"Peki" diye yanıtladı yaşlı adam.
"Titus, harmana git" dedi şakacı.
"Uff, canı cehenneme," diye çınladı, görevlilerle hizmetçilerin kahkahalarının gölgelediği bir ses.
"Yine de ben yalnızca hepsine karşı kazandığım zaferi seviyorum ve değer veriyorum; burada, bu sisin içinde üzerimde süzülen bu gizemli güce ve zafere değer veriyorum!"

O gece Rostov, Bagration'ın müfrezesinin önünde, kanat zincirindeki bir müfrezeyle birlikteydi. Hussar'ları zincirler halinde çiftler halinde dağılmıştı; kendisi de at sırtında bu zincir boyunca ilerliyor, onu karşı konulmaz bir şekilde aşağıya iten uykunun üstesinden gelmeye çalışıyordu. Arkasında ordumuzun sisin içinde belli belirsiz yanan büyük ateşlerini görebiliyordu; önünde sisli bir karanlık vardı. Rostov bu sisli mesafeye ne kadar bakarsa baksın hiçbir şey göremedi: bazen griye dönüyordu, bazen bir şey siyah görünüyordu; sonra düşmanın olması gereken yerde ışıklar yanıp sönüyor gibiydi; sonra bunun sadece gözlerinde parladığını düşündü. Gözleri kapandı ve hayalinde önce hükümdarı, sonra Denisov'u, sonra Moskova anılarını hayal etti ve yine aceleyle gözlerini açtı ve önünde, bazen üzerinde oturduğu atın kafasını ve kulaklarını gördü. altı adım ötedeyken hussarların siyah figürleriyle karşılaştım ve uzakta hala aynı sisli karanlık vardı. "Neyden? Rostov, benimle tanışan hükümdarın herhangi bir subay gibi bir emir vermesinin çok mümkün olduğunu düşündü: "Git, orada ne olduğunu öğren." Pek çok kişi, tesadüfen bir memuru nasıl tanıdığını ve onu kendisine yaklaştırdığını anlattı. Ya beni kendisine yaklaştırsaydı! Ah, onu nasıl korurdum, ona tüm gerçeği nasıl anlatırdım, aldatıcılarını nasıl açığa çıkarırdım” ve Rostov, hükümdara olan sevgisini ve bağlılığını canlı bir şekilde hayal etmek için, Almanların bir düşmanını veya aldatıcısını hayal etti. sadece öldürmekle kalmadı, aynı zamanda hükümdarın gözünde yanaklarına da vurdu. Aniden uzak bir çığlık Rostov'u uyandırdı. Ürperdi ve gözlerini açtı.
"Neredeyim? Evet, zincir halinde: slogan ve parola – çeki demiri, Olmütz. Filomuzun yarın yedekte olması ne kadar yazık... - diye düşündü. - Senden katılmanı isteyeceğim. Bu hükümdarı görmek için tek fırsat olabilir. Evet, vardiyaya çok uzun sürmeyecek. Tekrar dolaşacağım ve döndüğümde generalin yanına gidip ona soracağım.” Eyerini ayarladı ve bir kez daha süvarilerinin etrafında dolaşmak için atını hareket ettirdi. Ona daha parlakmış gibi geldi. Sol tarafta hafif aydınlatılmış bir eğim ve karşı tarafta duvar gibi dik görünen siyah tepecik görülüyordu. Bu tepede Rostov'un anlayamadığı beyaz bir nokta vardı: ormanda ay tarafından aydınlatılan bir açıklık mı, yoksa kalan kar mı yoksa beyaz evler mi? Hatta ona bu beyaz nokta boyunca bir şey hareket ediyormuş gibi geldi. “Kar bir nokta olmalı; nokta - une tache," diye düşündü Rostov. "Hadi bakalım…"

Şimdiye kadar bir noktanın düzlemdeki veya uzaydaki konumunu bilmek istediğimiz için Kartezyen koordinat sistemini kullanıyorduk. Mesela uzaydaki bir noktanın konumunu şu şekilde belirledik: üç kişinin yardımıyla koordinatlar Bu koordinatlar apsis, koordinat ve uygulamadır. değişken nokta uzay. Ancak bir noktanın apsisini, ordinatını ve uygulamasını belirtmenin bir sorun olmadığı açıktır. tek yol uzayda bir noktanın konumunun belirlenmesi. Bu, örneğin eğrisel koordinatlar kullanılarak başka bir şekilde yapılabilir.

İyi tanımlanmış bir kurala göre her noktanın M boşluk benzersiz bir şekilde belirli bir sayı üçlüsüne karşılık gelir ( Q 1 , Q 2 , Q 3) ve farklı sayı üçlüleri farklı noktalara karşılık gelir. Sonra uzayda bir koordinat sistemi verildiğini söylüyorlar; sayılar Q 1 , Q 2 , Q 3 noktaya karşılık gelir M, bu noktanın koordinatları (veya eğrisel koordinatları) olarak adlandırılır.

Sayı üçlüsünün geçerli olduğu kurala bağlı olarak ( Q 1 , Q 2 , Q 3) uzaydaki bir noktaya karşılık gelir, şu veya bu koordinat sisteminden bahseder.

Belirli bir koordinat sisteminde M noktasının konumunun sayılarla belirlendiğini belirtmek isterlerse Q 1 , Q 2 , Q 3 ise şu şekilde yazılır M(Q 1 , Q 2 , Q 3).

Örnek 1. Uzayda sabit bir noktanın işaretlenmesine izin verin HAKKINDA(koordinatların orijini) ve üzerlerinde seçilen ölçeğe sahip karşılıklı üç dik eksen bunun üzerinden çizilir. (Eksen Ah, Ah, Oz). Sayıların üçü X, sen, z gelin noktayı eşleştirelim M, öyle ki yarıçap vektörünün izdüşümleri OM eksende Ah, Ah, Oz sırasıyla eşit olacak X, sen, z. Sayıların üçlüleri arasında ilişki kurmanın bu yöntemi ( X, sen, z) ve noktalar M bizi iyi bilinen Kartezyen koordinat sistemine götürür.

Kartezyen koordinat sistemi durumunda, her sayı üçlüsünün yalnızca uzaydaki belirli bir noktaya karşılık gelmekle kalmayıp aynı zamanda bunun tersini de, uzaydaki her noktanın belirli bir koordinat üçlüsüne karşılık geldiğini görmek kolaydır.

Örnek 2. Koordinat eksenlerinin uzayda tekrar çizilmesine izin verin Ah, Ah, Oz Sabit bir noktadan geçmek HAKKINDA(Menşei).

Üçlü sayıları düşünün R, J, z, Nerede R³0; £0 J£2 P, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, uygulaması şuna eşit olacak şekilde z ve düzleme izdüşümü Oksi kutupsal koordinatlara sahiptir R Ve J(bkz. Şekil 4.1). Burada her üç sayının olduğu açıktır. R, J, z belli bir noktaya karşılık gelir M ve geri, her noktaya M belirli bir sayı üçlüsüne karşılık gelir R, J, z. Bunun istisnası eksen üzerinde yer alan noktalardır Oz: bu durumda R Ve z benzersiz bir şekilde tanımlanır ve açı J herhangi bir anlam atanabilir. Sayılar R, J, z noktanın silindirik koordinatlarına denir M.

Silindirik ve Kartezyen koordinatlar arasında ilişki kurmak kolaydır:

X = R×çünkü J; sen = R×günah J; z = z.

Ve geri; ; z = z.

Örnek 3. Küresel koordinat sistemini tanıtalım. Üç sayıyı ayarlayalım R, Q, J, noktanın konumunu karakterize eden M uzayda şu şekilde: R– başlangıç ​​noktasından noktaya olan mesafe M(yarıçap vektörünün uzunluğu), Q Oz ve yarıçap vektörü OM(nokta enlemi M) J– eksenin pozitif yönü arasındaki açı Ah ve yarıçap vektörünün düzleme izdüşümü Oksi(noktanın boylamı M). (Bkz. Şekil 4.2).

Bu durumda sadece her noktanın olmadığı açıktır. M belirli bir sayı üçlüsüne karşılık gelir R, Q, J, Nerede R³0,0£ Q £ P, 0£ J£2 P, ancak bunun tersi de geçerlidir, bu tür üçlü sayıların her biri uzayda belirli bir noktaya karşılık gelir (yine eksen noktaları hariç) Oz, bu benzersizliğin ihlal edildiği yer).

Küresel ve Kartezyen koordinatlar arasındaki bağlantıyı bulmak kolaydır:

X = R günah Qçünkü J; sen = R günah Q günah J; z = Rçünkü Q.

Keyfi bir koordinat sistemine dönelim ( tamam 1 , tamam 2 , tamam 3). Yalnızca uzaydaki her noktanın belirli bir sayı üçlüsüne karşılık gelmediğini varsayacağız ( Q 1 , Q 2 , Q 3), ancak bunun tersi de geçerlidir, her sayı üçlüsü uzayda belirli bir noktaya karşılık gelir. Koordinat yüzeyleri ve koordinat çizgileri kavramını tanıtalım.

Tanım. Koordinatın verildiği noktaların kümesi Q 1 sabittir, koordinat yüzeyi olarak adlandırılır Q 1. Koordinat yüzeyleri benzer şekilde tanımlanır Q 2 ve Q 3 (bkz. Şekil 4.3).

Açıkçası, eğer M noktasının koordinatları varsa İLE 1 , İLE 2 , İLE 3 o zaman bu noktada koordinat yüzeyleri kesişir Q 1 =C 1 ; Q 2 =C 2 ; Q 3 =C 3 .

Tanım. Sadece koordinatın değiştiği noktalar kümesi Q 1 (ve kalan iki koordinat Q 2 ve Q 3 sabit kalır) koordinat çizgisi olarak adlandırılır Q 1 .

Açıkçası, her koordinat çizgisi Q 1 koordinat düzlemlerinin kesişme çizgisidir Q 2 ve Q 3 .

Koordinat çizgileri benzer şekilde belirlenir Q 2 ve Q 3 .

Örnek 1. Koordinat yüzeyleri (koordinat boyunca X) Kartezyen koordinat sisteminde tüm düzlemler vardır X= sabit (Düzleme paraleldirler Oz). Koordinat yüzeyleri benzer şekilde koordinatlarla belirlenir sen Ve z.

Koordinat X-çizgi eksene paralel düz bir çizgidir Ah. Koordinat sen-astar ( z-line) – düz, eksene paralel kuruluş birimi(eksenler Oz).

Örnek 2. Silindirik bir sistemdeki koordinat yüzeyleri şunlardır: düzleme paralel herhangi bir düzlem Oksi(koordinat yüzeyi z= const), ekseni eksen boyunca yönlendirilen dairesel bir silindirin yüzeyi Oz(koordinat yüzeyi R= const) ve eksen tarafından sınırlanan bir yarım düzlem Oz(koordinat yüzeyi J= const) (bkz. Şekil 4.4).

Silindirik koordinat sisteminin adı, koordinat yüzeyleri arasında silindirik yüzeylerin bulunmasıyla açıklanmaktadır.

Bu sistemdeki koordinat doğruları z-line – düz, eksene paralel Oz; J-line – merkezi eksen üzerinde olan yatay bir düzlemde uzanan bir daire Oz; Ve R-line – eksen üzerinde rastgele bir noktadan çıkan ışın Oz, düzleme paralel Oksi.

Pirinç. 4.5

Koordinat yüzeyleri arasında küreler bulunduğundan bu koordinat sistemine küresel denir.

Buradaki koordinat çizgileri şunlardır: R-line – orijinden çıkan bir ışın, Q-line – merkezi orijinde olan ve bir eksen üzerindeki iki noktayı birleştiren yarım daire Oz; J-line - yatay bir düzlemde uzanan, bir eksen üzerinde ortalanmış bir daire Oz.

Yukarıda tartışılan tüm örneklerde herhangi bir noktadan geçen koordinat çizgileri M, birbirine diktir. Bu her koordinat sisteminde gerçekleşmez. Ancak kendimizi yalnızca bunun gerçekleştiği koordinat sistemlerini incelemekle sınırlayacağız; bu tür koordinat sistemlerine dik denir.

Tanım. Koordinat sistemi ( tamam 1 , tamam 2 , tamam 3) her noktada ise dik olarak adlandırılır M Bu noktadan geçen koordinat doğruları dik açıyla kesişir.

Şimdi bir noktaya değinelim M ve bu noktada karşılık gelen koordinat çizgilerine dokunan ve karşılık gelen koordinatı arttırmaya yönelik birim vektörler çizin. Bu vektörler her noktada sağ yönlü bir üçlü oluşturuyorsa, o zaman bize sağ yönlü bir koordinat sistemi verilir. Örneğin Kartezyen koordinat sistemi X, sen, z(eksenlerin olağan düzeniyle) doğrudur. Ayrıca sağ elini kullanan silindirik koordinat sistemleri de vardır R, J, z(ancak tam olarak bu koordinat sırası ile; koordinatların sırasını değiştirirseniz, örneğin, R, z, J, artık doğru sistemi alamayacağız).

Küresel koordinat sistemi de sağ eldir (bu sırayı ayarlarsanız) R, Q, J).

Kartezyen koordinat sisteminde birim vektörün yönünün, bulunduğu noktaya bağlı olmadığına dikkat edin. M bu vektörü gerçekleştiriyoruz; aynı şey vektörler için de geçerlidir. Eğrisel koordinat sistemlerinde farklı bir şey gözlemliyoruz: örneğin silindirik bir koordinat sisteminde bir noktadaki vektörler M ve başka bir noktada M Artık 1'in birbirine paralel olması gerekmiyor. Aynı şey bir vektör için de geçerlidir (genel anlamda farklı noktalarda farklı yönlere sahiptir).

Böylece, eğrisel bir koordinat sistemindeki birim ortogonal vektörlerin üçlüsü noktanın konumuna bağlıdır. M, burada bu vektörler dikkate alınır. Üçlü birim ortogonal vektörlere hareketli çerçeve adı verilir ve vektörlerin kendilerine birim vektörler (veya basitçe vektörler) denir.

Böyle bir vektör uzayına karşılık gelir. Bu yazıda başlangıç ​​noktası olarak ilk tanım esas alınacaktır.

N (\displaystyle n) boyutlu Öklid uzayı şu şekilde gösterilir: E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) gösterim de sıklıkla kullanılır (eğer bağlamdan uzayın bir Öklid yapısına sahip olduğu açıkça anlaşılıyorsa).

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ 04 - Doğrusal cebir. Öklid uzayı

✪ Öklid dışı geometri. Bölüm Bir.

✪ Öklid dışı geometri. Bölüm iki

✪ 01 - Doğrusal cebir. Doğrusal (vektör) uzay

✪ 8. Öklid uzayları

Altyazılar

Resmi tanımlama

Öklid uzayını tanımlamanın en kolay yolu skaler çarpımı ana kavram olarak almaktır. Öklid vektör uzayı, gerçek sayılar alanı üzerinde, vektörleri üzerinde gerçek değerli bir fonksiyonun belirtildiği sonlu boyutlu bir vektör uzayı olarak tanımlanır. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) aşağıdaki üç özelliğe sahiptir:

Öklid uzayı örneği - koordinat uzayı R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) gerçek sayıların tüm olası demetlerinden oluşan (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) formülle belirlenen skaler çarpım (x , y) = ∑ ben = 1 n x ben y ben = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\toplam _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Uzunluklar ve açılar

Öklid uzayında tanımlanan skaler çarpım, uzunluk ve açı gibi geometrik kavramları tanıtmak için yeterlidir. Vektör uzunluğu sen (\displaystyle u) olarak tanımlandı (u , sen) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) ve belirlenmiş | sen | . (\displaystyle |u|.) Skaler çarpımın pozitif kesinliği, sıfır olmayan vektörün uzunluğunun sıfırdan farklı olmasını garanti eder ve çift doğrusallıktan şu sonuç çıkar: | sen | = | bir | | sen | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) yani orantılı vektörlerin uzunlukları orantılıdır.

Vektörler arasındaki açı sen (\displaystyle u) Ve v (\displaystyle v) formülle belirlenir φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Kosinüs teoreminden iki boyutlu bir Öklid uzayı için ( Öklid düzlemi) bu açı tanımı olağan tanımla örtüşmektedir. Ortogonal vektörler, üç boyutlu uzayda olduğu gibi, aralarındaki açının eşit olduğu vektörler olarak tanımlanabilir. π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2))).)

Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz eşitsizliği ve üçgen eşitsizliği

Yukarıda verilen açı tanımında bir boşluk kalmıştır: arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) tanımlanmışsa eşitsizliğin sağlanması gerekir | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Bu eşitsizlik aslında keyfi bir Öklid uzayında geçerlidir; buna Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz eşitsizliği denir. Bu eşitsizlikten de üçgen eşitsizliği ortaya çıkar: | u + v | ⩽ | sen | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Yukarıda listelenen uzunluk özellikleriyle birlikte üçgen eşitsizliği, bir vektörün uzunluğunun Öklid vektör uzayında bir norm olduğu ve fonksiyonun d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)Öklid uzayındaki bir metrik uzayın yapısını tanımlar (bu fonksiyona Öklid metriği denir). Özellikle elemanlar (noktalar) arasındaki mesafe x (\displaystyle x) Ve y (\displaystyle y) koordinat alanı R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) formülle verilir d (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ ben = 1 n (x ben - y ben) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Cebirsel özellikler

Ortonormal bazlar

Eşlenik uzaylar ve operatörler

Herhangi bir vektör x (\displaystyle x)Öklid uzayı doğrusal bir fonksiyoneli tanımlar x ∗ (\displaystyle x^(*)) olarak tanımlanan bu uzayda x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Bu haritalama Öklid uzayı ile uzay arasındaki bir izomorfizmdir.

Dikdörtgen uzaysal Kartezyen koordinat sistemi

Uzamsal dikdörtgen koordinat sistemlerinin dönüşümleri

Doğrusal haritaların dönüşümleri

Genel ikinci dereceden bir formun kanonik bir forma indirgenmesi

Eğrisel koordinatlar

Eğrisel koordinat sistemleri hakkında genel bilgi

Bir yüzeydeki eğrisel koordinatlar

Kutupsal koordinat sistemleri ve genellemeleri

Uzaysal kutupsal koordinat sistemi

Silindirik koordinat sistemi

Küresel koordinat sistemi

Yüzeydeki kutupsal koordinatlar

Bölüm 3. JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNAT SİSTEMLERİ

Jeodezide kullanılan koordinat sistemlerinin genel sınıflandırması

Karasal jeodezik koordinat sistemleri

Jeodezide kutupsal koordinat sistemleri

Eğrisel elipsoidal jeodezik koordinat sistemleri

Dünya yüzeyindeki noktaların planlı ve rakım konumlarının belirlenmesi için ayrı bir yöntem kullanılarak elipsoidal jeodezik koordinatların belirlenmesi

Uzamsal jeodezik kutupsal koordinatları elipsoidal jeodezik koordinatlara dönüştürme

Referans jeodezik koordinat sistemlerini küresel olanlara ve geriye dönüştürme

Uzaysal dikdörtgen koordinat sistemleri

Uzamsal dikdörtgen koordinatlar ile elipsoidal jeodezik koordinatlar arasındaki ilişki

Uzamsal dikdörtgen referans koordinatlarını küresel olanlara ve geriye dönüştürme

Jeodezide toposentrik koordinat sistemleri

Uzaysal toposentrik yatay jeodezik SC ile uzaysal kutupsal küresel koordinatlar arasındaki ilişki

Toposentrik yatay jeodezik koordinatları X, Y, Z uzamsal dikdörtgen koordinatlara dönüştürme

Jeodezide düzlem dikdörtgen koordinat sistemleri

Düz dikdörtgen Gauss-Kruger koordinatları ile elipsoidal jeodezik koordinatlar arasındaki ilişki

Düz dikdörtgen Gauss-Kruger koordinatlarının bir bölgeden diğerine dönüştürülmesi

Yerel jeodezik yapıların noktalarının düz dikdörtgen koordinatlarının diğer düz dikdörtgen koordinat sistemlerine yeniden hesaplanması

Bölüm 4. JEODETİK ASTRONOMİ VE UZAY JEODEZİSİNDE KULLANILAN KOORDİNAT SİSTEMLERİ

Küresel astronomi koordinat sistemleri

Uzay jeodezisinde referans sistemleri

Yıldız (göksel) eylemsiz jeosantrik ekvator koordinatları

Greenwich karasal jeosentrik mekansal dikdörtgen koordinat sistemi

Toposentrik koordinat sistemleri

Bölüm 5. RUSYA'DA XXI. YÜZYILIN BAŞLARINDA ÇEVRE ALANININ KOORDİNATİZASYONU

21. yüzyılın başında devlet jeodezik koordinat sistemleri.

Devlet Jeodezik Ağı İnşaatı

KAYNAKÇA

EK 1. UZAYDA DOĞRUDAN JEODESİK PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

EK 2. UZAYDA TERS JEODESİK PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

EK 3. B, L, H JEODETİK KOORDİNATLARININ UZAYLI DİKDÖRTGEN X, Y, Z'YE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 4. X, Y, Z UZAYLI DİKDÖRTGEN KOORDİNATLARIN JEODETİK B, L, H'YE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 5. SK-42 UZAYLI DİKDÖRTGEN KOORDİNATLARININ PZ-90 SİSTEMİNİN KOORDİNATLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 6. B, L, H JEODETİK KOORDİNATLARIN REFERANS SİSTEMİNİN PZ-90 B0, L0, H0 JEODETİK KOORDİNATLAR SİSTEMİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 7. S, ZГ, A SİSTEMİNİN UZAYSEL KUTUP KOORDİNATLARININ TOPOSANTRİK YATAY JEODETİK KOORDİNATLARINA XT, UT, ZT DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 8. HT, UT, ZT TOPOSENTRİK YATAY JEODETİK KOORDİNATLARININ KUTUP UZAYLI KOORDİNATLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ – S, ZГ, A

EK 9. XT, UT, ZT TOPOSANTRİK YATAY JEODETİK KOORDİNATLARININ UZAYLI DİKDÖRTGEN KOORDİNATLAR X, Y, Z'YE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 10. ELİPSOİD JEODETİK KOORDİNATLARIN B, L'NİN DÜZ DİKDÖRTGEN GAUSS-KRUGER KOORDİNATLARI X, Y'YE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

EK 11. DÜZ DİKDÖRTGEN GAUSS-KRUGER KOORDİNATLARININ X, Y ELİPSOİD JEODETİK KOORDİNATLARI B, L'YE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

(a 11 − λ1 )(a 22 − λ1 ) − a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22)λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21) = 0.

Bu ikinci dereceden denklemlerin diskriminantı ³ 0'dır, yani.

D = (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) = (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Denklemler (2.56), (2.57) denir karakteristik denklemler

matrisler ve bu denklemlerin kökleri özdeğerler matris A. (2.57)'den bulunan özdeğerleri (2.39)'a koyarız, elde ederiz

kanonik denklem.

İkinci dereceden bir form şu şekilde verildiğinde: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Bu denklemin kanonik formunu bulun.

Buradan a 11 = 5 olduğuna göre; a21 = 2; a 22 = 2 ise, bu ikinci dereceden form için karakteristik denklem (2.56) şu forma sahip olacaktır:

5 - λ2

2 2 - λ1

Bu matris denkleminin determinantını sıfıra eşitlemek

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

ve bu ikinci dereceden denklemi çözerek λ1 = 6 elde ederiz; λ2 = 1.

Ve sonra bu ikinci dereceden formun kanonik formu şu şekilde olacaktır:

F(x1,x2) = 6x12+x222.

2.3. Eğrisel koordinatlar

2.3.1. Eğrisel koordinat sistemleri hakkında genel bilgi

Eğrisel koordinatlar sınıfı, doğrusal koordinatlar sınıfıyla karşılaştırıldığında kapsamlı ve çok daha çeşitlidir ve analitik açıdan bakıldığında, doğrusal koordinatlar yönteminin yeteneklerini genişlettiği için en evrensel olanıdır. Eğrisel koordinatların kullanılması bazen birçok problemin, özellikle de doğrudan devrimin yüzeyinde çözülen problemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirebilir. Örneğin, belirli bir fonksiyonun bulunmasıyla ilgili bir dönme yüzeyindeki bir problemi çözerken, bu fonksiyonun belirli bir yüzeyde belirtildiği alanda, bu fonksiyonun bulunmasına izin verecek bir eğrisel koordinat sistemi seçmek mümkündür. yeni bir özelliğe sahiptir - belirli bir koordinat sisteminde sabit olmak, bu her zaman doğrusal koordinat sistemleri kullanılarak yapılamaz.

Üç boyutlu Öklid uzayının belirli bir bölgesinde tanımlanan bir eğrisel koordinat sistemi, bu uzayın her noktasını sıralı bir gerçek sayı üçlüsü - φ, λ, r (noktanın eğrisel koordinatları) ile ilişkilendirir.

Eğrisel koordinat sistemi doğrudan bir yüzeye (dönüş yüzeyi) yerleştirilmişse, bu durumda, yüzeydeki her noktaya iki gerçek sayı atanır - φ, λ, bu yüzeydeki noktanın konumunu benzersiz olarak belirler .

Eğrisel koordinat sistemi φ, λ, r ile doğrusal Kartezyen koordinat sistemi (X, Y, Z) arasında matematiksel bir bağlantı olmalıdır. Aslında, uzayın belirli bir bölgesinde eğrisel koordinat sistemi belirtilsin. Bu uzayın her noktası tek bir üçlü eğrisel koordinata (φ, λ, r) karşılık gelir. Öte yandan, doğrusal Kartezyen koordinatların tek üçlüsü aynı noktaya karşılık gelir - X, Y, Z. O zaman genel formda olduğu iddia edilebilir.

ϕ = ϕ (X,Y,Z);

λ = λ(,); (2.58)

XYZ

r = r(X, Y, Z).

Bu SC'ler arasında hem doğrudan (2.58) hem de ters bir matematiksel bağlantı vardır.

Formüllerin (2.58) analizinden, örneğin φ, λ, r uzaysal eğrisel koordinatlarından birinin sabit bir değeri ile şu sonucu çıkar:

ϕ =ϕ(Х,У,Z)= sabit,

Ve diğer ikisinin değişken değerleri (λ, r), genel olarak koordinat yüzeyi adı verilen bir yüzey elde ederiz. Aynı koordinata karşılık gelen koordinat yüzeyleri birbiriyle kesişmez. Ancak farklı koordinatlara karşılık gelen iki koordinat yüzeyi kesişir ve üçüncü bir koordinata karşılık gelen bir koordinat çizgisi üretir.

2.3.2. Bir yüzeydeki eğrisel koordinatlar

Jeodezi için yüzey eğrisel koordinatları büyük ilgi görmektedir.

Yüzey denklemi Kartezyen koordinatların bir fonksiyonu olsun.

dolaylı olarak forma sahiptir
F(X, Y, Z) = 0.

Birim vektörler i, j, l'yi koordinat eksenleri boyunca yönlendirerek (Şekil 2.11), yüzey denklemi vektör biçiminde yazılabilir.

r = X ben + Y j + Z l . (2.60)

İki yeni bağımsız değişken φ ve λ'yı tanıtalım, öyle ki fonksiyonlar

(2.59) denklemini karşılayın. Eşitlikler (2.61) yüzeyin parametrik denklemleridir.

λ1 =sabit

					λ2 =sabit
					λ3 =sabit
					φ3 =sabit
					φ2 =sabit
					φ1 =sabit

Pirinç. 2.11. Eğrisel yüzey koordinat sistemi

Her φ ve λ sayı çifti yüzeydeki belirli (tek) bir noktaya karşılık gelir ve bu değişkenler yüzey noktalarının koordinatları olarak alınabilir.

φ'ye farklı sabit değerler verirsek φ = φ1, φ = φ2, ..., o zaman yüzeyde bu sabitlere karşılık gelen bir eğri ailesi elde ederiz. Benzer şekilde λ için sabit değerler vererek şunu elde ederiz:

ikinci eğri ailesi. Böylece yüzeyde φ = const ve λ = const koordinat çizgilerinden oluşan bir ağ oluşur. Genel olarak koordinat çizgileri

eğri çizgilerdir. Bu nedenle φ, λ sayılarına denir

eğrisel koordinatlar yüzeydeki noktalar.

Eğrisel koordinatlar doğrusal veya açısal büyüklükler olabilir. Bir koordinatın doğrusal bir miktar ve diğerinin açısal bir miktar olduğu eğrisel koordinatlar sisteminin en basit örneği, bir düzlemdeki kutupsal koordinatlar olabilir.

Eğrisel koordinatların seçiminin mutlaka koordinat çizgilerinin oluşumundan önce olması gerekmez. Bazı durumlarda, yüzeydeki belirli problemleri çözmek için en uygun olan bir koordinat çizgileri ağı oluşturmak ve daha sonra bu çizgiler için her koordinat çizgisi için sabit bir değere sahip olacak parametreleri (koordinatları) seçmek daha uygundur.

Belirli bir parametre sistemi, tamamen belirli bir koordinat çizgileri ağına karşılık gelir, ancak verilen her koordinat çizgisi ailesi için, belirli bir parametrenin sürekli ve kesin fonksiyonları olan birçok başka parametreyi seçmek mümkündür. Genel durumda, φ = const ailesinin koordinat çizgileri ile λ = const ailesinin çizgileri arasındaki açılar farklı değerlere sahip olabilir.

Yalnızca her φ = const koordinat çizgisinin diğer herhangi bir λ = const koordinat çizgisiyle dik açıyla kesiştiği eğrisel koordinatların ortogonal sistemlerini ele alacağız.

Bir yüzeydeki birçok problemi çözerken, özellikle yüzey noktalarının eğrisel koordinatlarının hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözerken, yüzey eğrisinin S uzunluğundaki değişime bağlı olarak φ ve λ eğrisel koordinatlarını değiştirecek diferansiyel denklemlere sahip olmak gerekir.

dS, dφ, dλ diferansiyelleri arasındaki bağlantı, yeni bir α değişkeninin, yani açının eklenmesiyle kurulabilir.

a dS

φ = sabit

λ = sabit

λ+d λ = sabit

çizginin pozitif yönü λ = pozitife sabit

bu eğrinin yönü (Şekil 2.12). Bu açı, olduğu gibi, çizginin yönünü (yönelimini) belirler.

yüzeyde belirli bir nokta. Sonra (çıktı olmadan):

Pirinç. 2.12. Bir yüzey üzerindeki bir eğri yayının diferansiyeli ile eğrisel yüzeydeki değişiklikler (diferansiyeller) arasındaki bağlantının geometrisi

koordinatlar

					∂X		2 ∂ У 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ У 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosa
		sina

İÇİNDE Jeodezi açısı α, jeodezik azimut'a karşılık gelir: α = A.

2.3.3. Kutupsal koordinat sistemleri ve genellemeleri

2.3.4. Uzaysal kutupsal koordinat sistemi

Uzamsal kutupsal koordinat sistemini belirtmek için önce bir düzlem seçmelisiniz (bundan sonra ona ana düzlem diyeceğiz). Bu düzlemde belirli bir O noktası seçiliyor

ölçümler

bölümler

o zaman uzay

konum

uzaydaki herhangi bir nokta olacak

kesinlikle

kararlı olmak

miktarlar: r, φ, λ, burada r –

kutupsal

direğe düz mesafe

O'dan Q noktasına (Şekil 2.13); λ –

kutup açısı - arasındaki açı

kutupsal

Pirinç. 2.13. Uzaysal sistem

dikey

projeksiyon

ana kutup yarıçapı

kutupsal koordinatlar ve modifikasyonları

uçak

değişiklikler

(kutup yarıçapı) ve onun

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektör

projeksiyon

OQ0 açık

ana

pozitif yarı uzayın noktaları için pozitif (0 ≤ φ ≤ π/2) ve negatif yarı uzayın noktaları için negatif (-π/2 ≤ φ ≤ 0) kabul edilen düzlem.

Herhangi bir uzamsal kutup CS, uzamsal bir Kartezyen dikdörtgen CS ile kolaylıkla ilişkilendirilebilir (dönüştürülebilir).

Kutupsal sistemin ölçeğini ve orijinini uzaysal dikdörtgen bir sistemdeki koordinatların ölçeği ve orijini olarak alırsak, kutup ekseni OR'yi yarı apsis ekseni OX olarak, O kutbundan ana düzleme dik olarak çizilen OZ çizgisi Kutupsal sistemin pozitif yönünü dikdörtgen Kartezyen sistemin yarı ekseni OZ olarak alın ve yarı ekseni – OU'yu, apsis ekseninin pozitif yönde π/2 açısıyla döndürüldüğünde gittiği eksen olarak alın. kutup sisteminin ana düzlemindeki yön, daha sonra Şekil 2'den. 2.13

Formüller (2.64), X, Y, Z'yi r, φ, λ cinsinden ifade etmemizi sağlar ve bunun tersi de geçerlidir.

Herhangi bir yüzey üzerinde yine iki sayı ile bir noktanın konumunu belirleyerek bir koordinat sistemi kurabilirsiniz. Bunu yapmak için, bir şekilde tüm yüzeyi iki çizgi ailesiyle kaplayacağız, böylece her bir noktadan (belki de az sayıda istisna dışında) her aileden bir ve yalnızca bir çizgi geçecektir. Artık her ailenin hatlarına, sayısal işareti kullanarak ailenin istediğiniz hattını bulmanızı sağlayan bazı katı kurallara göre sayısal işaretler vermeniz yeterlidir (Şekil 22).

Nokta koordinatları M yüzeyler sayılardır sen, v, Nerede sen- Geçen ilk ailenin soyunun sayısal olarak işaretlenmesi M, Ve v-- ikinci ailenin çizgilerini işaretlemek. Yazmaya devam edeceğiz: M(u; v), sayılar Ve, v bir noktanın eğrisel koordinatlarına denir M.Örnek olarak küreye dönersek söylenenler tamamen netleşecektir. Hepsi meridyenlerle (birinci aile) kaplanabilir; her biri sayısal bir işarete, yani boylam değerine karşılık gelir sen(veya c). Tüm paralellikler ikinci bir aileyi oluşturur; her biri sayısal bir işaretle ilişkilidir - enlem v(veya ve). Küre üzerindeki her noktadan (kutuplar hariç) yalnızca bir meridyen ve bir paralel geçer.

Başka bir örnek olarak, yüksekliği dik dairesel bir silindirin yan yüzeyini düşünün. N, yarıçap A(Şek. 23). İlk aile için jeneratör sistemini alıyoruz, bunlardan birini ilk olarak alıyoruz. Her jeneratöre bir işaret atarız sen, ilk generatrix ile verilen arasındaki temel daire üzerindeki yayın uzunluğuna eşittir (yayı örneğin saat yönünün tersine sayacağız). İkinci aile için yüzeyin yatay kesit sistemini alıyoruz; sayısal işaret v Kesitin tabanın üzerine çizildiği yüksekliği dikkate alacağız. Doğru eksen seçimi ile x, y, z uzayda herhangi bir noktaya sahip olacağız M(x;y; z) yüzeyimiz:

(Burada kosinüs ve sinüs için argümanlar derece cinsinden değil radyan cinsindendir.) Bu denklemler bir silindirin yüzeyi için parametrik denklemler olarak düşünülebilir.

Sorun 9. Uygun bükme sonrasında yarıçaplı bir silindir elde etmek için bir drenaj borusu dirseği oluşturmak için bir metal levha parçası hangi eğri boyunca kesilmelidir? A, taban düzlemine 45° açı yapan bir düzlemle kesilmiş mi?

Çözüm. Silindir yüzeyinin parametrik denklemlerini kullanalım:

Eksen boyunca bir kesme düzlemi çiziyoruz Ah, onun denklemi z=y. Bunu az önce yazdığımız denklemlerle birleştirirsek denklemi elde ederiz.

Eğrisel koordinatlardaki kesişim çizgileri. Yüzeyi bir düzlem üzerine açtıktan sonra eğrisel koordinatlar Ve Ve v Kartezyen koordinatlara dönüşecek.

Bu nedenle, bir sinüzoid boyunca üstte bir teneke parçası ana hatlarıyla belirtilmelidir.

Burada sen Ve v düzlemde zaten Kartezyen koordinatlar var (Şekil 24).

Hem küre hem de silindirik yüzey durumunda ve genel durumda, bir yüzeyin parametrik denklemlerle tanımlanması, yüzey üzerinde eğrisel bir koordinat sisteminin kurulmasını gerektirir. Aslında Kartezyen koordinatların ifadesi x, y, z keyfi nokta M(x;y;z) iki parametre aracılığıyla yüzeyler sen, v(Bu genellikle şu şekilde yazılır: X=ts ( sen; v), y= ts (u;v), z=š (u;v), ts, w, sh - iki bağımsız değişkenin işlevleri) bir çift sayıyı bilmeyi mümkün kılar sen, v, karşılık gelen koordinatları bulun x, y, z, bu noktanın konumu anlamına gelir M bir yüzeyde; sayılar sen, v koordinatları olarak hizmet eder. Örneğin bunlardan birine sabit bir değer vererek sen=sen 0, ifadeyi alıyoruz x, y, z bir parametre aracılığıyla v, yani eğrinin parametrik denklemi. Bu bir ailenin koordinat çizgisi, denklemi sen=sen 0. Tamamen aynı satır v=v 0 -- başka bir ailenin koordinat çizgisi.

koordinat kartezyen yarıçap vektörü