Аннотация: Предмет науки программирования. Пример и свойства алгоритма. Парадигмы программирования (директивное, объектно-ориентированное и функционально-логическое программирование).
Эта глава, с которой начинается изучение курса, служит двум основным целям:
- подготовить необходимую теоретическую базу для последующего овладения различными методами обработки информации, навыками программирования в малом и построения правильных эффективных программ;
- дать минимально необходимые для практического программирования знания о языке Java и предоставить образцы небольших типовых программ.
В процессе знакомства с теоретическим материалом главы может возникнуть ощущение его оторванности от нужд практики - решения конкретных задач на языке Java. С другой стороны, именно решение задач на программирование должно привести к осознанному пониманию того факта, что написать правильную и эффективную программу совсем не так просто, как это кажется на первый взгляд.
Знание необходимых теоретических основ позволит во второй главе перейти к изучению методов построения программ и доказательства их правильности - теории, которая будет применяться для практического написания программ параллельно со знакомством с ней. Таким образом, два кажущиеся совершенно не связанными друг с другом потока изучения материала - теоретический и практический, сольются в один уже в следующей главе. Пока же читателю остается только поверить в то, что знание всего материала первой главы является необходимым условием для успешного перехода к изучению следующей.
И последнее замечание - чисто технологическое. На первой стадии изучения языка Java полезно отвлечься от того факта, что он является объектно-ориентированным, и сосредоточиться на содержательных проблемах корректной реализации алгоритма. Однако это не так просто сделать - написание даже самой простейшей программы на нем невозможно без понимания основных концепций ООП. Для частичного решения этой проблемы используется созданный специально для этих целей класс Xterm , ограждающий начинающего программиста от сложностей реального мира языка Java.
Предмет науки программирования
С давних пор человеку приходится создавать описания последовательностей действий, требуемых для достижения некоторой поставленной цели. Такие описания могут быть рассчитаны на их выполнение людьми или автоматическими устройствами. Тексты, написанные для людей, как правило, обладают известной степенью неопределенности и неформальности. Примером может служить фраза из кулинарного рецепта о щепотке соли. Только весьма опытный человек в состоянии правильно посолить блюдо в соответствии с подобной рекомендацией.
Этот пример вполне объясняет, почему описания последовательности действий, предназначенные для автоматического устройства, должны быть совершенно однозначны и заданы с помощью некоторой формальной системы обозначений. Очень часто создание таких описаний связано со значительными техническими и принципиальными трудностями. Данная проблема стала чрезвычайно актуальной в связи с повсеместным распространением электронных вычислительных машин (ЭВМ), часто используемых в качестве .
Описание последовательности действий, достаточно определенное для того, чтобы ее можно было выполнить при помощи некоторого автоматического устройства называют алгоритмом (algorithm) . Обычно эту последовательность записывают (кодируют) с помощью некоторых формальных обозначений. При этом формальная система, предназначенная для записи алгоритмов, называется алгоритмическим языком , сам текст алгоритма - программой , а процесс его создания - программированием .
Наука программирования (computer science) занимается исследованием свойств алгоритмов и разработкой методов построения программ. По своему положению и используемым методам она является областью прикладной математики. Все попытки подхода к программированию как к технической дисциплине, а к созданию программ как к промышленному производству, неизменно терпели неудачу.
Заметим, что данное выше "определение" алгоритма достаточно расплывчато и, фактически, определением не является. В математике существует несколько вполне четких определений алгоритма, эквивалентных между собой, и большинство из них не слишком трудны для понимания. Все они, однако, требуют хорошего знания определенных областей математики и поэтому в начале мы не будем отвлекаться на (весьма важные и интересные) подробности, необходимые для строгого изложения понятия алгоритма. Вместо этого мы рассмотрим пример алгоритма, а потом перечислим основные свойства, которыми должен обладать любой алгоритм.
Подход, когда некоторое не до конца четко определенное понятие активно используют, в науке весьма типичен. Например, точные определения натуральных и действительных чисел не рассматривают ни только в средней школе, но даже и в большинстве ВУЗов. Более того, говорят, что сороконожка даже ходить разучилась, когда задумалась над тем, в каком порядке она переставляет ноги.
Пример и свойства алгоритма
Пусть нам нужно решить задачу нахождения наименьшего простого делителя натурального числа , большего единицы. Напомним, что простым называется число, не имеющее делителей, отличных от единицы и его самого, причем единица в множество простых чисел не входит. Вот как в этой книге мы будем записывать формулировки задач и их решения:
Задача 1.1 . Придумайте алгоритм, вводящий натуральное число, большее единицы,который находит наименьший простой делитель этого числа.
Алгоритм решения задачи .
Алгоритм П :
П1 : Положить целое число равным двум и перейти на шаг П2.
П2 : Если делится нацело на , то завершить работу алгоритма, выдав в качестве результата ; иначе перейти на шаг П3.
П3 : Увеличить значение на единицу и перейти на шаг П2.
Для того чтобы понять этот алгоритм, надо выступить в роли компьютера (или скорее даже универсального исполнителя команд ), выполняя вручную указанную в нем последовательность действий для некоторых небольших значений . Будем записывать значения величины после каждого шага алгоритма.
| k = 3 | k = 4 | k = 2 |
| П1: i = 2 | П1: i = 2 | П1: i = 2 |
| П2: i = 2 | П2: i = 2 | П2: i = 2 |
| П3: i = 3 | ||
| П2: i = 3 |
Подобное исследование дает основание полагать, что после завершения работы алгоритма переменная действительно будет содержать наименьший простой делитель исходного числа . В данном случае это не сложно доказать и совершенно строго. Обязательно сделайте это.
Основные свойства любого алгоритма - это конечность, определенность, вход (ввод), выход (вывод) и эффективность. Рассмотрим их последовательно более подробно.
Конечность . Алгоритм должен всегда заканчиваться после выполнения конечного числа шагов. Алгоритм П удовлетворяет этому условию, так как величина вначале меньше , ее значение увеличивается на единицу к каждому очередному выполнению шага П2, и поэтому выполнение алгоритма будет прекращено на шаге П2 при , если - простое число, или ранее при составном .
Определенность . Действия, которые необходимо произвести на каждом шаге, должны быть определены строго и недвусмысленно в каждом возможном случае. В данном примере применена достаточно определенная, хотя и не вполне формальная система обозначений. Чаще алгоритмы записывают с использованием более формальных алгоритмических языков, называемых также языками программирования , в которых каждое утверждение имеет точный смысл.
В настоящее время существует несколько тысяч языков программирования, десятки из них используется весьма активно. Такое большое число языков обусловлено разнообразием областей применения, различием в аппаратуре, для которой пишутся программы, и в уровне подготовки людей, их пишущих, а также существованием нескольких учений о том, как надо писать программы (так называемых парадигм программирования ).
Вход (input) . Алгоритм всегда имеет некоторое (иногда равное нулю) количество входных данных, то есть величин, передаваемых ему до начала работы. В алгоритме П, например, одна входная величина - целое число , большее единицы. Примером алгоритма, имеющего пустое множество входных данных, может служить алгоритм, вычисляющий 1000-е простое число.
Выход (output) . Алгоритм всегда обязан иметь одну или несколько выходных величин. В случае алгоритма П такой величиной является число . Алгоритмы, не имеющие выходных данных, бесполезны на практике, и мы не будем их изучать.
Эффективность . От алгоритма требуется, чтобы он был эффективным. Это означает, что все операции, которые необходимо произвести в алгоритме, должны быть достаточно простыми, чтобы их в принципе можно было выполнить точно и за конечное время с помощью карандаша и бумаги. В алгоритме П выполняются лишь следующие операции: сравниваются два целых числа, одно положительное число делится на другое, переменной присваивается значение целого числа два, ее значение увеличивается на единицу.
Все эти операции являются эффективными в указанном выше смысле, так как целые числа можно записать на бумаге конечным образом и существует по крайней мере по одному способу для деления и сложения двух целых чисел. Но те же самые операции не были бы эффективными, если бы значениями величин, фигурирующих в алгоритме, были бы произвольные действительные числа, выраженные бесконечными десятичными дробями, так как подобные величины нельзя даже записать на бумаге за конечное время.
Из вышесказанного следует, что на ЭВМ практически невозможно работать с действительными числами , что, по всей видимости, может показаться вам неправдоподобным. На самом деле это так. Более того, даже с настоящими целыми числами на компьютере работают не так уж и часто. Обычно вместо множеств целых и действительных чисел приходится работать с их заменителями
Понятие алгоритма так же фундаментально для информатики, как и понятие информации. Существует много различных определений алгоритма, так как это понятие достаточно широкое и используется в различных областях науки, техники и повседневной жизни.
Алгоритм – понятная и точная последовательность действий, описывающая процесс преобразования объекта из начального состояния в конечное.
Исполнителем алгоритма может быть как человек (кулинарные рецепты, различные инструкции, алгоритмы математических вычислений), так и техническое устройство. Различные машины (компьютеры, промышленные роботы, современная бытовая техника) являются формальными исполнителями алгоритмов. От формального исполнителя не требуется понимание сущности решаемой задачи, но требуется точное выполнение последовательности команд.
Алгоритм можно записывать различными способами (словесное описание, графическое описание – блок схема, программа на одном из языков программирования и т.д.). Программа – это алгоритм, записанный на .
Для создания алгоритма (программы) необходимо знать:
полный набор исходных данных задачи (начальное состояние объекта);
цель создания алгоритма (конечное состояние объекта);
систему команд исполнителя (то есть набор команд, которые исполнитель понимает и может выполнить).
Полученный алгоритм (программа) должен обладать следующим набором свойств:
дискретность (алгоритм разбит на отдельные шаги - команды);
однозначность (каждая команда определяет единственно возможное действие исполнителя);
понятность (все команды алгоритма входят в систему команд исполнителя);
результативность (исполнитель должен решить задачу за конечное число шагов).
Большая часть алгоритмов обладает также свойством массовости (с помощью одного и того же алгоритма можно решать множество однотипных задач).
Выше отмечалось, что один и тот же алгоритм может быть записан по-разному. Можно записывать алгоритм естественным языком. В таком виде мы используем рецепты, инструкции и т.п. Для записи алгоритмов, предназначенных формальным исполнителям, разработаны специальные языки программирования . Любой алгоритм можно описать графически в виде блок-схемы . Для этого разработана специальная система обозначений:
| Обозначение | Описание | Примечания |
| Начало и конец алгоритма | ||
 |
Ввод и вывод данных. | Вывод данных иногда
обозначают иначе:
|
 |
Действие | В вычислительных алгоритмах так обозначают присваивание |
 |
Развилка | Развилка - компонент, необходимый для реализации ветвлений и циклов |
 |
Начало цикла с параметром | |
 |
Типовой процесс | В программировании - процедуры или подпрограммы |
 |
Переходы между блоками |
Приведем пример описания алгоритма суммирования двух величин в виде блок-схемы:
Такой способ описания алгоритм наиболее нагляден и понятен человеку. Поэтому, алгоритмы формальных исполнителей обычно разрабатывают сначала в виде блок-схемы, и только затем создают программу на одном из .
Программист имеет возможность конструировать и использовать нетипичные алгоритмические структуры, однако, в этом нет необходимости. Любой сколь угодно сложный алгоритм может быть разработан на основе трёх типовых структур: следования, ветвления и повторения. При этом структуры могут располагаться последовательно друг за другом или вкладываться друг в друга.
Линейная структура (следование).
Наиболее простой алгоритмической структурой является линейная . В ней все операции выполняются один раз в том порядке, в котором они записаны.
Ветвление.
В полном ветвлении предусмотрено два варианта действий исполнителя в зависимости от значения логического выражения (условия). Если условие истинно, то выполняться будет только первая ветвь, иначе только вторая ветвь.
Вторая ветвь может быть пустой. Такая структура называется неполным ветвлением или обходом .
Из нескольких ветвлений можно сконструировать структуру «выбор » (множественное ветвление), которая будет выбирать не из двух, а из большего количества вариантов действий исполнителя, зависящих от нескольких условий . Существенно, что выполняется только одна ветвь - в такой структуре важное значение приобретает порядок следования условий: если выполняются несколько условий, то сработает только одно из них - первое сверху.
Цикл (повторение).
Цикл позволяет организовать многократное повторение одной и той же последовательности команд - она называется телом цикла. В различных видах циклических алгоритмов количество повторений может зависеть от значения логического выражения (условия) или может быть жестко задано в самой структуре. Различают циклы: «д о », «п ока », циклы со счётчиком. В циклах «д о» и «п ока» логическое выражение (условие) может предшествовать телу цикла (цикл с предусловием ) или завершать цикл (цикл с послеусловием ).
Ц иклы «д о » - повторение тела цикла до выполнения условия:
Ц иклы «п ока » - повторение тела цикла пока условие выполняется (истинно):
Ц иклы со счётчиком (с параметром) – повторение тела цикла заданное число раз:
Вспомогательный алгоритм (подпрограмма, процедура).
Вспомогательный алгоритм представляет собой модуль, к которому можно многократно обращаться из основного алгоритма. Использование вспомогательных алгоритмов может существенно уменьшить размер алгоритма и упростить его разработку.
Методы разработки сложных алгоритмов.
Существует два метода разработки сложных алгоритмов:
Метод последовательной детализации задачи («сверху-вниз») состоит в том, что исходная сложная задача разбивается на подзадачи. Каждая из подзадач рассматривается и решается отдельно. Если какие-либо из подзадач сложны, они также разбиваются на подзадачи. Процесс продолжается до тех пор, пока подзадачи не сведутся к элементарным. Решения отдельных подзадач затем собираются в единый алгоритм решения исходной задачи. Метод широко используется, так как позволяет вести разработку общего алгоритма одновременно нескольким программистам, решающим локальные подзадачи. Это необходимое условие быстрой разработки программных продуктов.
Сборочный метод («снизу-вверх») заключается в создании множества программных модулей, реализующих решение типичных задач. При решении сложной задачи программист может использовать разработанные модули в качестве вспомогательных алгоритмов (процедур). Во многих уже существуют подобные наборы модулей, что существенно упрощает и ускоряет создание сложного алгоритма.
Управление - целенаправленное взаимодействие объектов, одни из которых являются управляющими, другие - управляемыми.
В простейшем случае таких объектов два:
С точки зрения информатики управляющие воздействия можно рассматривать как управляющую информацию. Информация может передаваться в форме команд. Последовательность команд по управлению объектом, приводящая к заранее поставленной цели, называется алгоритмом управления . Следовательно, объект управления можно назвать исполнителем управляющего алгоритма. В рассмотренном примере, управляющий объект работает "не глядя" на то, что происходит с управляющим объектом (управление без обратной связи ). Такая схема управления называется незамкнутой . Другая схема управления может учитывать информацию о процессах, происходящих в объекте управления:
В этом случае, алгоритм управления должен быть достаточно гибким, чтобы анализировать эту информацию и принимать решение о своих дальнейших действиях в зависимости от состояния объекта управления (управление с обратной связью ). Такая схема управления называется замкнутой .
Более подробно процессы управления изучаются рассматриваются кибернетикой . Эта наука утверждает, что самые разнообразные процессы управления в обществе, природе и технике происходят сходным образом, подчиняются одним и тем же принципам.
Любое управление процессом требует определенных правил и четких действий. Компьютер – это устройство, предназначенное для автоматизации создания, хранения, обработки и передачи данных, а значит здесь должны выполняться четкие предписания для выполнения той или иной задачи.
Для создания программ, предназначенной для решения на ЭВМ какой-либо задачи, требуется составление алгоритма ее решения.
Алгоритмами, например, являются правила сложения, умножения, решения алгебраических уравнений, умножения матриц и т.п. Слово алгоритм происходит от algoritmi, являющегося латинской транслитерацией арабского имени хорезмийского математика IX века аль-Хорезми. Благодаря латинскому переводу трактата аль-Хорезми европейцы в XII веке познакомились с позиционной системой счисления, и в средневековой Европе алгоритмом называлась десятичная позиционная система счисления и правила счета в ней.
Иными словами, алгоритм – это точная инструкция, а инструкции встречаются практически во всех областях человеческой деятельности. Возможны алгоритмы проведения физического эксперимента, сборки шкафа или телевизора, обработки детали. Однако не всякая инструкция есть алгоритм.
Инструкция становится алгоритмом только тогда, когда она удовлетворяет определенным требованиям. Одно из требований алгоритма однозначность, т.е. если при применении к одним и тем же данным он даст один и тот же результат.
Применительно к ЭВМ алгоритм позволяет формализовать вычислительный процесс, начинающийся с обработки некоторой совокупности возможных исходных данных и направленный на получение определенных этими исходными данными результатов. Термин вычислительный процесс распространяется и на обработку других видов информации, например, символьной, графической или звуковой.
Если вычислительный процесс заканчивается получением результатов, то говорят, что данный алгоритм применим к рассматриваемой совокупности исходных данных. В противном случае говорят, что алгоритм неприменим к совокупности исходных данных. Любой применимый алгоритм обладает следующими основными свойствами:
· дискретностью;
· определенностью;
· результативностью;
· массовостью.
Дискретность – последовательное выполнение простых или ранее определённых (подпрограммы) шагов. Преобразование исходных данных в результат осуществляется дискретно во времени.
Определенность состоит в совпадении получаемых результатов независимо от пользователя и применяемых технических средств (однозначность толкования инструкций).
Результативность означает возможность получения результата после выполнения конечного количества операций.
Массовость заключается в возможности применения алгоритма к целому классу однотипных задач, различающихся конкретными значениями исходных данных (разработка в общем виде).
Для задания алгоритма необходимо описать следующие его элементы:
· набор объектов, составляющих совокупность возможных исходных данных, промежуточных и конечных результатов;
· правило начала;
· правило непосредственной переработки информации (описание последовательности действий);
· правило окончания;
· правило извлечения результатов.
Алгоритм всегда рассчитан на конкретного исполнителя. В нашем случае таким исполнителем является ЭВМ. Для обеспечения возможности реализации на ЭВМ алгоритм должен быть описан на языке, понятном компьютеру, то есть на языке программирования.
Понятия алгоритма и программы разграничены не очень чётко. Обычно программой называют окончательный вариант алгоритма решения задачи, ориентированный на конкретного пользователя.
Таким образом, можно дать следующее определение программы для ЭВМ:
К основным способам описания алгоритмов можно отнести следующие:
· словесно-формульный (на естественном языке);
· структурный или блок-схемный;
· с использованием специальных алгоритмических языков;
· с помощью граф-схем (граф – совокупность точек и линий, в которой каждая линия соединяет две точки. Точки называются вершинами, линии – рёбрами).
Перед составлением программ чаще всего составляют алгоритм решения поставленной задачи одним из вышеописанных способов.
При словесно -формульном способе алгоритм записывается в виде текста с формулами по пунктам, составляющих последовательность действий.
Пусть, например, необходимо найти значение следующего выражения:
у = 4а – (х + 3).
Словесно-формульным способом алгоритм решения этой задачи может быть записан в следующем виде:
1. Ввести значения а и х.
2. Сложить х и 3.
3. Умножить а на 4.
4. Вычесть из 4а сумму (х+3).
5. Вывести у как результат вычисления выражения.
При блок -схемном описании алгоритм изображается геометрическими фигурами (блоками), связанными по управлению линиями (направлениями потока) со стрелками. В блоках записывается последовательность действий.
Такой вид записи алгоритма обладает наибольшими достоинствами. Он наиболее нагляден: каждая операция вычислительного процесса изображается отдельной геометрической фигурой. Кроме того, графическое изображение алгоритма наглядно показывает разветвления путей решения задачи в зависимости от различных условий, повторение отдельных этапов вычислительного процесса и другие детали.
Оформление программ должно соответствовать определенным требованиям (рис. 2.). В настоящее время действует единая система программной документации (ЕСПД), которая устанавливает правила разработки, оформления программ и программной документации. В ЕСПД определены и правила оформления блок-схем алгоритмов (ГОСТ 10.002-80 ЕСПД, ГОСТ 10.003-80 ЕСПД).
Одним из свойств алгоритма является дискретность, т.е. представление процесса вычислений на отдельные шаги и выделения отдельных участков программы на определенные структуры.
Любой вычислительный процесс может быть представлен как комбинация элементарных алгоритмических структур:
· Следование. Предполагает последовательное выполнение команд сверху вниз. Если алгоритм состоит только из структур следования, то он является линейным.
· Ветвление. Выполнение программы идет по одной из двух, нескольких или множества ветвей. Выбор ветви зависит от условия на входе ветвления и поступивших сюда данных.
· Цикл. Предполагает возможность многократного повторения определенных действий. Количество повторений зависит от условия цикла.
· Функция (подпрограмма). Команды, отделенные от основной программы, выполняются лишь в случае их вызова из основной программы (из любого ее места). Одна и та же функция может вызываться из основной программы сколь угодно раз.
При этом выделят три основных вида алгоритмов:
Современные системы программирования обычно предоставляют пользователям мощные и удобные средства разработки программ. В них входят:
· компилятор или интерпретатор;
· интегрированная среда разработки;
· средства создания и редактирования текстов программ;
· обширные библиотеки стандартных программ и функций;
· отладочные программы, т.е. программы, помогающие находить и устранять ошибки в программе;
· "дружественная" к пользователю диалоговая среда;
· многооконный режим работы;
· мощные графические библиотеки; утилиты для работы с библиотеками;
· встроенный ассемблер;
· встроенная справочная служба;
· другие специфические особенности.
Понятие алгоритма относится к основным понятиям информатики. Рассмотрим основные понятия, связанные с понятием алгоритма.
Когда речь идет об алгоритме, всегда подразумевается существование некоторого исполнителя, для которого предназначен алгоритм.
Исполнитель - человек или автомат (например, компьютер), который умеет выполнять определенный конечный набор действий.
Предписание - приказ на выполнение действий из указанного конечного набора.
Система предписаний - совокупность допустимых приказов.
Программа - конечная последовательность предписаний с указанием порядка их выполнения.
В случае, когда исполнителем является компьютер, предписание называется командой , а система предписаний называется системой команд компьютера . Разные компьютеры в зависимости от их устройства могут иметь разные системы команд.
Программирование - составление последовательности команд, которая необходима для решения поставленной задачи.
Составлению программы предшествует разработка алгоритма.
Алгоритм - это точное и понятное указание исполнителю совершить конечную последовательность действий, направленных на достижение указанной цели или на решение поставленной задачи.
Любой алгоритм обладает следующими свойствами:
- 1. Дискретность. Выполнение алгоритма разбивается на последовательность элементарных действий - шагов. Каждое действие должно быть закончено исполнителем прежде, чем он перейдет к выполнению следующего действия. Произвести каждое отдельное действие исполнителю предписывает специальное указание в записи алгоритма, называемое командой.
- 2. Точность или детерминированность. Запись алгоритма должна быть такой, чтобы, выполнив очередную команду, исполнитель точно знал, какую команду надо выполнять следующей.
- 3. Понятность. Каждый алгоритм строится в расчете на конкретного исполнителя, который должен быть в состоянии выполнить каждую команду алгоритма в строгом соответствии с ее назначением.
- 4. Результативность. При точном исполнении всех предписаний алгоритма процесс должен завершится за конечное число шагов и при этом должен быть получен какой-либо ответ на поставленную задачу. В качестве одного из возможных решений может быть установление того факта, что задача не имеет решения
- 5. Массовость. помощью одного и того же алгоритма можно решать однотипные задачи и делать это неоднократно. Свойство массовости значительно увеличивает практическую ценность алгоритмов.
Большая ценность алгоритмов заключается в том, что исполнитель может не вникать в смысл того, что он делает, и вместе с тем получать нуж больше знаний, чем от исполнителя.
Простейшие операции, на которые распадается процесс решения задачи, может реализовать автоматическое устройство, специально созданное для выполнения отдельных команд алгоритма в указанной последовательности. Если удается получить алгоритм решения какой-нибудь задачи, появляется возможность создать машину, которая автоматизировала бы ее решение.
Каждый алгоритм предполагает наличие некоторых исходных данных. Например, для медицинского рецепта (алгоритма) исходными данными являются медикаменты, а результатом - флакон с готовым лекарством. Для алгоритма сложения исходными данными являются пара слагаемых, а результатом - их сумма. Для каждого алгоритма существует класс объектов, допустимых в качестве исходных данных. Иногда исходными данными являются материальные объекты, а иногда - числа.
Алгоритм - это правило, следовательно, оно должно быть сформулировано на некотором языке. Исходные данные и искомые результаты также должны быть описаны на некотором языке, возможно отличном от языка, на котором описан алгоритм.
Таким образом, каждый алгоритм связан с двумя языками: на одном он сформулирован сам, предложения другого являются для него допустимыми вариантами исходных данных.
Разработка алгоритма решения задачи называется алгоритмизацией. В процессе алгоритмизации задача сводится к построению последовательности шагов, расположенных в определенном порядке.
Между алгоритмами и программами нет четкого разграничения. Программой обычно называют алгоритм решения задачи, рассчитанный на исполнение его компьютером и записанный с помощью предложений используемого языка программирования.
Алгоритмической структурой называется стандартный способ соединения отдельных шагов алгоритма для выполнения типичной последовательности действий.
В теории алгоритмов доказывается, что любой алгоритм может быть представлен в виде комбинации трех алгоритмических структур: следования, развилки и цикла.
Представляет собой последовательное выполнение действий (рис. 12).
Рис. 12.
Применяется в случае, когда в зависимости от истинности некоторого логического условия необходимо выполнить то или иное действие (рис. 13).
Рис. 13.
Действия 1 и 2 могут, в свою очередь, включать в себя другие алгоритмические структуры.
Цикл . Применяется, когда некоторые действия необходимо выполнить несколько раз. Существуют две разновидности цикла.
Применяется, когда некоторые операции надо повторять до тех пор, пока некоторое условие не станет ложным (рис. 14).
Рис. 14. Цикл До.
Под начальными присвоениями подразумеваются операции присвоения исходных значений переменным, используемым в цикле. Многократно повторяемая последовательность действий называется телом цикла.
Применяется, когда некоторые операции надо повторять до тех пор, пока некоторое условие не станет истинным (рис. 15).
Рис. 15. Цикл Пока.
Первый шаг к пониманию важности изучения и знания алгоритмов это дать точное определение тому, что понимается под алгоритмом. Согласно популярной книге Алгоритмы: построение и анализ (Кормен, Лейзерсон, Ривест, Штайн) «алгоритм (algorithm) - это любая корректно определенная вычислительная процедура, на вход (input) которой подается некоторая величина или набор величин, и результатом выполнения которой является выходная (output) величина или набор значений». Другими словами, алгоритмы похожи на дорожные карты для достижения четко определенной задачи. Кусок кода, для вычисления членов последовательности Фибоначчи - это реализация конкретного алгоритма. Даже простая функция сложения двух чисел является алгоритмом, хотя и простым.
Некоторые алгоритмы, к примеру, для вычисления последовательности Фибоначчи, являются интуитивно понятными и относятся к врожденным навыкам логического мышления и решения задач. Тем не менее, большинству из нас будет не лишним изучить и сложные алгоритмы, чтобы в будущем можно было использовать их в качестве строительных блоков для более эффективного решения логических задач. В действительности можно удивиться, узнав как много сложных алгоритмов используется людьми при проверке электронной почты или слушании музыки. В этой статье представлены некоторые основные идеи анализа алгоритмов с практическими примерами, иллюстрирующими важность изучения алгоритмов.
Анализ времени выполнения алгоритма
Одним из наиболее важных аспектов алгоритма является его скорость. Часто бывает легко придумать алгоритм решающий задачу, но если алгоритм слишком медленный, то он возвращается на доработку. Поскольку точная скорость алгоритма зависит от того где запускается алгоритм, а также деталей реализации, компьютерные специалисты обычно говорят о времени выполнения относительно входных данных. Например, если вход состоит из N целых чисел, то алгоритм может иметь время выполнения пропорциональное N 2 , что представляется как O(N 2). Это означает, что если вы запустите реализацию алгоритма на компьютере с входом размером в N, то это займет C*N 2 секунд, где C-некоторая константа, которая не меняется с изменением размера входа.
Тем не менее, время выполнения многих сложных алгоритмов зависит не только от размера входных данных, но и от множества других факторов. Например, алгоритм сортировки множества целых чисел может работать намного быстрее, если это множество уже отсортировано. Принято говорить о наихудшем случае выполнения, и среднем случае выполнения. Наихудшее время выполнения - это максимальное время работы алгоритма при самом «плохом» их всех возможных входов. Средний случай выполнения - это среднее время работы алгоритма на всех возможных входах. Их этих двух типов времени выполнения, легче всего рассуждать о наихудшем случае и поэтому его используют чаще в качестве эталона для заданного алгоритма. Процесс определения наихудшего и среднего случая времени выполнения алгоритма может быть достаточно сложным, т.к. обычно невозможно запустить алгоритм для всех возможных входов.
Сортировка
Сортировка является хорошим примером алгоритма, который часто используется программистами. Самый простой способ отсортировать группу элементов это начать с удаления наименьшего элемента из группы, и поставить его первым. Затем удаляется второй по величине элемент и ставится вторым и т.д. К сожалению, время работы этого алгоритма составляет O(N 2), а это означает, что потребуется количество времени пропорциональное количеству элементов в квадрате. Если бы нам пришлось сортировать млрд. элементов, то этот алгоритмы бы потребовал 10 18 операций. Если считать что обычные настольные ПК делают примерно 10 9 операций в секунду, то потребуются годы чтобы закончить сортировку этого млрд. элементов.
К счастью существует ряд более совершенных алгоритмов, например, быстрая сортировка (quicksort), пирамидальная сортировка (heapsort) и сортировка слиянием (mergesort). Эти алгоритмы имеют время выполнения O(N * Log(N)). Таким образом, число операций необходимых для сортировки млрд. элементов сокращается до таких разумных пределов, что даже самый дешевый настольный ПК способен провести такую сортировку. Вместо млрд. в квадрате операций (10 18) эти алгоритмы требуют только 10 млрд. операций (10 10), т.е. на 100 млн. быстрее.
Кратчайший путь
Алгоритмы поиска кратчайшего пути из одной точки в другую исследуются уже на протяжении многих лет. Примеров прикладного применения этих алгоритмов предостаточно, однако для простоты изложения будем придерживаться следующей постановки: требуется найти кратчайший путь из точки А в точку Б в городе с несколькими улицами и перекрестками. Существует много разных алгоритмов для решения этой задачи и все они со своими преимуществами и недостатками. Прежде чем мы углубимся в их изучение, давайте рассмотрим время выполнения простого алгоритма перебором. Если алгоритм рассматривает каждый возможный путь от А до Б (который не образует циклов) он вряд ли закончится при нашей жизни, даже если А и Б находятся в маленьком городке. Время выполнения этого алгоритма является экспоненциальным, что обозначается как O(C N) для некоторого C. Даже для малых значений C, C N становится астрономическим числом, когда N принимает умеренно большое значение.
Один из самых быстрых алгоритмов для решения этой задачи имеет время выполнения O(E*V*Log(V)), где E число дорожных сегментов, а V число пересечений. Алгоритм займет около 2 секунд времени, для поиска кратчайшего пути в городе из 10000 пересечений и 20000 дорожных сегментов (обычно бывает около 2 дорожных сегментов на одно пересечение). Этот алгоритм известен как алгоритм Дейкстры , он является довольно таки сложным и требует использования структуры данных очередь с приоритетом (priority queue). Однако в некоторых случаях даже такое время выполнения является слишком медленным (взять например нахождение кратчайшего пути от Нью-Йорка до Сан-Франциско - в США есть миллионы пересечений), в таких случаях программисты пытаются улучшить время выполнения с помощью так называемой эвристики. Эвристика - это приближенное значение чего-то, что имеет отношение к задаче. В задаче поиска кратчайшего пути, например, может оказаться полезным знать, как далеко находится точка от пункта назначения. Зная это можно разработать более быстрый алгоритм (например алгоритм поиска А* в некоторых случаях работает значительно быстрее чем алгоритм Дейкстры). Такой подход не всегда улучшает время выполнения алгоритма в наихудшем случае, но в большинстве реальных приложений алгоритм начинает работать быстрее.
Приближенные алгоритмы
Иногда даже самый продвинутый алгоритм с самой продвинутой эвристикой работает слишком медленно на самом быстром компьютере. В таких случаях приходится снижать точность конечного результата. Вместо того чтобы пытаться получить кратчайший путь, можно ограничиться путем, который например на 10% больше чем кратчайший путь.
На самом деле есть немало важных задач, для которых известные на сегодня алгоритмы выдают оптимальный результат слишком медленно. Наиболее известная группа из этих задач называется NP (non-deterministic polynomial) . Если задача называется NP-полной или NP-трудной, то это означает, что никто не знает достаточно хорошего способа для получения оптимального решения. Кроме того, если кто-то разработает эффективный алгоритм для решения одной NP-трудной задачи, то этот алгоритм можно будет применить ко всем NP-трудным задачам.
Хорошим примером NP-трудной задачи является задача коммивояжёра . Продавец хочет посетить N городов, и он знает, сколько времени занимает перемещение из одного города в другой. Вопрос в том насколько быстро он сможет посетить все города? Самый быстрый из известных алгоритмов для решения этой задачи является слишком медленным - и многие считают, что так будет всегда - поэтому программисты ищут достаточно быстрые алгоритмы, дающие хорошее решение, но часто не оптимальное.
Случайные алгоритмы
Еще один подход, применяемый для решения некоторых задач, заключается в том, чтобы сделать алгоритм случайным. Данный подход не улучшает время алгоритма в худшем случае, но довольно часто хорошо работает в среднем случае. Алгоритм быстрой сортировки является хорошим примером использования рандомизации. В худшем случае, алгоритм быстрой сортировки сортирует группу элементов за O(N 2), где N количество элементов. Если в этом алгоритме использовать рандомизацию, то шансы на худший случай становятся незначительно малыми, и в среднем случае алгоритм быстрой сортировки работает за время O(N*Log(N)). Другие алгоритмы даже в худшем случае гарантируют время работы O(N*Log(N)), однако они медленнее в среднем случае. Хотя оба алгоритма имеют время работы пропорциональное N*Log(N), алгоритм быстрой сортировки имеет более меньший постоянный коэффициент (constant factor) - т.е. он требует C*N*Log(N), в то время как другие алгоритмы требуют более 2*C*N*Log(N) операций.
Другой алгоритм, использующий случайные числа ищет медиану для группы чисел и его время работы в среднем случае составляет O(N). Это намного быстрее по сравнению с алгоритмом, который сортирует числа и выбирает среднее, и работает за O(N*Log(N)). Существуют детерминированные алгоритмы (не случайные) которые позволяют найти медиану за время O(N), однако случайный алгоритм проще для понимания и часто работает быстрее этих детерминированных алгоритмов.
Основная идея алгоритма поиска медианы это выбрать среди чисел случайное, и посчитать, сколько чисел в группе меньше чем выбранное число. Допустим, есть N чисел, K из них меньше или равно выбранному числу. Если K меньше чем половина N, тогда мы знаем что медиана это (N/2-K)-е число которое больше чем случайно выбранное число, так что мы отбрасываем K чисел меньших или равных случайному числу. Теперь допустим мы хотим найти (N/2-K)-е наименьшее число, вместо медианы. Алгоритм такой же, мы просто случайно выбираем число и повторяем описанные шаги.
Сжатие
Еще один класс алгоритмов предназначен для сжатия данных. Этот алгоритм не имеет ожидаемого результата (как например, алгоритм сортировки), но вместо этого делается оптимизация по некоторым критериям. В случае сжатия данных, алгоритм (например, LZW) пытается сделать так чтобы данные занимали как можно меньше байтов, но в то же время, чтобы можно было распаковывать их до первоначальной формы. В некоторых случаях этот тип алгоритмов использует те же методы что и другие алгоритмы, что приводит к хорошему результату, но неоптимальному. Например, JPG и MP3 сжимают данные таким образом, что конечный результат получается более низкого качества, чем оригинал, однако и размер меньше. MP3 сжатие не сохраняет каждую особенность оригинального аудио файла, но пытается сохранить достаточно деталей, чтобы обеспечить приемлемое качество и в то же время значительно сократить размер файла. Формат JPG следует тому же принципу, но детали существенно отличаются, т.к. целью является сжатие изображения, а не аудио.
Почему так важно знать алгоритмы
Чтобы использовать алгоритмы должным образом, важно знать все упомянутые типы алгоритмов. Если вам придется разрабатывать важную часть программного обеспечения, то вы должны быть в состоянии оценить скорость работы вашего алгоритма. Точность вашей оценки зависит от того насколько вы владеете анализом времени исполнения алгоритмов. Кроме этого, необходимо знать детали алгоритмов, что позволит предсказывать особые случаи, в которых программа не будет работать быстро, или будет давать неприемлемые результаты.
Конечно, будут моменты, когда вы будете натыкаться на ранее не изучавшиеся проблемы. В таких случаях нужно придумать новый алгоритм, или по-новому применить старый алгоритм. Чем больше вы знаете об алгоритмах, тем больше у вас шансов найти хорошее решение проблемы. Во многих случаях новая задача легко сводится к старой, но для этого нужно иметь фундаментальное понимание старых задач.
В качестве примера можно рассмотреть, как работают сетевые коммутаторы. Коммутатор имеет N подключенных к нему кабелей, и принимает пакет данных, поступающих по этим кабелям. Коммутатор должен сначала проанализировать пакеты, а затем отправить их обратно по правильному кабелю. Коммутатор также как и компьютер работает в дискретном режиме - пакеты отправляются дискретными интервалами, а не непрерывно. Быстрый коммутатор стремится послать, как можно больше пакетов в течение каждого интервала иначе они накопятся и коммутатор «упадет». Цель алгоритма отправлять максимальное количество пакетов в течение каждого интервала, а также обеспечить порядок, при котором пакеты, пришедшие раньше других отправлялись тоже раньше других. В этом случае оказывается, что для решения этой задачи подходит алгоритм известный как «stable matching», хотя на первый взгляд это может быть не очевидно. Такие связи между задачей и решением можно обнаружить только с помощью уже имеющихся алгоритмических знаний.
Реальные примеры
Примеров решений реальных задач требующих новейших алгоритмов предостаточно. Почти все, что вы делаете на компьютере зависит от алгоритмов, которые кто-то очень долго разрабатывал. Даже самых простых программ не существовало бы без алгоритмов, которые работают «за сценой» управляя памятью и загружая данные с жесткого диска.
Существуют десятки примеров применения сложных алгоритмов, но обсудим две задачи, решение которых требует таких же навыков, как для решения некоторых задач на TopCoder. Первая задача известна как задача о максимальном потоке , а вторая связана с динамическим программированием - методом который часто позволяет решать задачи с казалось бы невозможной молниеносной скоростью.