До последнего времени географические факторы, оказывающие существенно важное влияние на распространение заболеваний, исследовались сравнительно мало. Справедливость предположения об однородном перемешивании населения в небольшом городе или деревне уже давно ставилась под сомнение, хотя вполне допустимо в качестве первого приближения принять, что перемещения источников инфекции носят случайный характер и во многом напоминают движение частиц в коллоидном растворе. Тем не менее необходимо, конечно, иметь некоторое представление о том, к какому эффекту может привести наличие большого числа восприимчивых индивидуумов в пунктах, удаленных на довольно большие расстояния от любого данного источника инфекции.
В детерминистской модели, принадлежащей Д. Кендаллу, предполагается существование бесконечного двумерного континуума популяции, в которой на единицу площади приходится о индивидуумов. Рассмотрим область , окружающую точку Р, и допустим, что числа восприимчивых, зараженных и удаленных из коллектива индивидуумов равны соответственно . Величины х, у и z могут быть функциями времени и положения, однако их сумма должна равняться единице. Основные уравнения движения, аналогичные системе (9.18), имеют вид
где - пространственно взвешенное среднее значение
Пусть и - постоянные, - элемент площади, окружающий точку Q, и - неотрицательный весовой коэффициент.
Допустим, что начальная концентрация заболеваний равномерно распределена в некоторой небольшой области, окружающей первоначальный очаг. Заметим также, что в произведение Роху в явном виде введен множитель о, с тем чтобы скорость распространения инфекции оставалась независимой от плотности популяции. Если бы у оставалось постоянным на плоскости, то интеграл (9.53) наверняка сходился бы. В этом случае удобно было бы потребовать, чтобы
Описанная модель позволяет довольно далеко продвинуть математические исследования. Можно показать (с одной-двумя оговорками), что пандемия охватит всю плоскость в том и только в том случае, если плотность популяции превышает пороговое значение . Если пандемия возникла, то ее интенсивность определяется единственным положительным корнем уравнения
Смысл этого выражения состоит в том, что доля индивидуумов, заболевающих в конце концов в любой области, как бы далеко она ни отстояла от первоначального эпидемического очага, будет не меньше?. Очевидно, что эта теорема Кендалла о пороге пандемии аналогична пороговой теореме Кермака и Мак-Кендрика, в которой пространственный фактор не учитывался.
Можно также построить модель для следующего частного случая. Пусть х и у - пространственные плотности восприимчивых и зараженных индивидуумов соответственно. Если считать инфекцию локальной и изотропной, то нетрудно показать, что уравнения, соответствующие первым двум уравнениям системы (9.18), можно записать в виде
где не пространственные координаты] и
Для начального периода, когда можно приближенно считать постоянной величиной, второе уравнение системы (9.56) примет вид
Это стандартное уравнение диффузии, решение которого имеет вид
где постоянная С зависит от начальных условий.
Общее число зараженных индивидуумов, находящихся вне круга радиусом R, равно
Следовательно,
и если , то . Радиус соответствующий какому-либо выбранному значению растет со скоростью . Эту величину можно рассматривать как скорость распространения эпидемии, и ее предельное значение для больших t равно . В одном из случаев эпидемии кори в Глазго в течение почти полугода скорость распространения составляла около 135 м в неделю.
Уравнения (9.56) легко видоизменить так, чтобы была учтена миграция восприимчивых и зараженных индивидуумов, а также появление новых восприимчивых индивидуумов. Как и в случае повторяющихся эпидемий, рассмотренных в разд. 9.4, здесь возможно равновесное решение, однако небольшие колебания затухают столь же быстро или даже быстрее, чем в непространственной модели. Таким образом, ясно, что в данном случае детерминистский подход имеет определенные ограничения. В принципе следовало бы, конечно, предпочесть стохастические модели, но обычно анализ их сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если он проводится чисто математическим путем.
Было выполнено несколько работ по моделированию этих процессов. Так, Бартлетт использовал ЭВМ для изучения нескольких последовательных искусственных эпидемий. Пространственный фактор был учтен введением сетки ячеек . Внутри каждой ячейки использовались типичные непространственные модели для непрерывного или дискретного времени и допускалась случайная миграция зараженных индивидуумов между ячейками, имеющими общую границу. Была получена информация о критическом объеме популяции, ниже которого происходит затухание эпидемического процесса. Основные параметры модели были получены на основе фактических эпидемиологических и демографических данных.
Недавно автор этой книги предпринял ряд аналогичных исследований, в которых была сделана попытка построить пространственное обобщение стохастических моделей для простого и общего случаев, рассмотренных в разд. 9.2 и 9.3. Допустим, что имеется квадратная решетка, каждый узел которой занят одним восприимчивым индивидуумом. В центре квадрата помещается источник инфекции и рассматривается такой процесс цепочечно-биномиального типа для дискретного времени, в котором опасности заражения подвергаются только индивидуумы, непосредственно примыкающие к какому-либо источнику инфекции. Это могут быть либо только четыре ближайших соседа (схема 1), либо также индивидуумы, расположенные по диагонали (схема 2); во втором случае всего будет восемь индивидуумов, лежащих на сторонах квадрата, центр которого занимает источник инфекции.
Очевидно, что выбор схемы произволен, однако в нашей работе использовалось последнее расположение.
Сначала была рассмотрена простая эпидемия без случаев выздоровления. Для удобства использовалась решетка ограниченного размера, и информация о состоянии каждого индивидуума (т. е. восприимчив ли он к инфекции или является ее источником) хранилась в вычислительной машине. В процессе моделирования проводилась текущая запись изменений состояния всех индивидуумов и подсчитывалось общее число новых случаев заболевания во всех квадратах с первоначальным источником инфекции в центре. В памяти машины фиксировались также текущие значения суммы и суммы квадратов числа случаев. Это позволило довольно легко вычислить средние значения и средние квадратические ошибки. Детали этого исследования будут опубликованы в отдельной статье, а здесь мы отметим лишь одну-две частные особенности этой работы. Например, ясно, что при очень высокой вероятности достаточного контакта будет иметь место почти детерминированное распространение эпидемии, при котором на каждом новом этапе развития эпидемии будет добавляться новый квадрат с источниками инфекции.
При меньших вероятностях будет иметь место действительно стохастическое распространение эпидемии. Так как каждый источник инфекции может заразить только восемь своих ближайших соседей, а не всю популяцию, то можно ожидать, что эпидемическая кривая для всей решетки будет возрастать не столь резко, как при однородном перемешивании всей популяции. Этот прогноз действительно оправдывается, и число новых случаев увеличивается с течением времени более или менее линейно до тех пор, пока не начнут сказываться краевые эффекты (поскольку решетка имеет ограниченную протяженность).
Таблица 9. Пространственная стохастическая модель простой эпидемии, построенная на решетке 21x21
В табл. 9 приведены результаты, полученные для решетки при наличии одного исходного источника инфекции и вероятности достаточного контакта, равной 0,6. Можно видеть, что между первым и десятым этапами эпидемии среднее число новых случаев каждый раз увеличивается примерно на 7,5. После этого начинает преобладать краевой эффект, и эпидемическая кривая резко падает вниз.
Можно также определить среднее число новых случаев для любой данной точки решетки и найти таким образом эпидемическую кривую для этой точки. Удобно проводить усреднение по всем точкам, лежащим на границе квадрата, в центре которого находится источник инфекции, хотя симметрия в этом случае не будет полной. Сравнение результатов для квадратов различного размера дает картину эпидемической волны, движущейся от первоначального источника инфекции.
Здесь мы имеем последовательность распределений, моды которых увеличиваются в линейной прогрессии, а дисперсия непрерывно возрастает.
Было также выполнено более детальное исследование эпидемии общего типа с удалением зараженных индивидуумов. Безусловно, все это очень упрощенные модели. Однако важно понять, что они могут быть значительно усовершенствованы. Чтобы учесть мобильность популяции, надо допустить, что восприимчивые индивидуумы заражаются и от тех источников инфекции, которые не являются их ближайшими соседями. Возможно, здесь придется использовать какой-то весовой коэффициент, зависящий от расстояния. Видоизменения, которые нужно будет ввести при этом в программу вычислительной машины, сравнительно невелики. На следующем этапе, возможно, удастся описать таким способом реальные или типичные популяции с самой разнообразной структурой. Это откроет возможность оценивать эпидемиологическое состояние реальных популяций с точки зрения опасности возникновения эпидемий различного типа.
Трехмерные картографические изображения являются электронными картами более высокого уровня и представляют собой визуализированные на средствах компьютерных систем моделирования пространственные образы основных элементов и объектов местности. Они предназначены для использования в системах управления и навигации (наземной и воздушной) при анализе местности, решении расчетных задач и моделировании, проектировании инженерных сооружений, мониторинге окружающей среды.
Технология моделирования местности позволяет создавать наглядные и измеримые перспективные изображения, весьма похожие на реальную местность. Их включение по определенному сценарию в компьютерный фильм позволяет при его просмотре "увидеть" местность с разных точек съемки, в различных условиях освещенности, для различных времен года и суток (статическая модель) или "пролететь" над ней по заданным или произвольным траекториям движения и скорости полета - (динамическая модель).
Использование компьютерных средств, в состав которых входят векторные или растровые дисплеи, позволяющие осуществлять в своих буферных устройствах преобразование входной цифровой информации в заданный кадр, требует предварительного создания в качестве такой информации цифровых пространственных моделей местности (ПММ).
Цифровые ПММ по своей сущности представляют собой совокупность цифровых семантических, синтаксических и структурных данных, записанных на машинный носитель, предназначенных для воспроизведения (визуализации) объемных образов местности и топографических объектов в соответствии с заданными условиями наблюдения (обзора) земной поверхности.
Исходными данными для создания цифровых ПММ могут служить фотоснимки, картографические материалы, топографические и цифровые карты, планы городов и справочная информация, обеспечивающие получение данных о положении, форме, размерах, цвете, и назначении объектов. При этом полнота ПММ будет определяться информативностью используемых фотоснимков, а точность - точностью исходных картографических материалов.
Технические средства и методы создания ПММ
Разработка технических средств и методов создания цифровых ПММ является непростой научно-технической проблемой. Решение этой проблемы предполагает:
Разработку аппаратно-программных средств получения первичной трехмерной цифровой информации об объектах местности по фотоснимкам и картматериалам;
- создание системы трехмерных картографических условных знаков;
- разработку методов формирования цифровых ПММ с использованием первичной картографической цифровой информации и фотоснимков;
- разработку экспертной системы формирования содержания ПММ;
- разработку методов организации цифровых данных в банке ПММ и принципов построения банка ПММ.
Разработка аппаратно-программных средств получения первичной трехмерной цифровой информации об объектах местности по фотоснимкам и картматериалам обусловлена следующими принципиальными особенностями:
Более высокими, по сравнению с традиционными ЦКМ, требованиями к цифровым ПММ по полноте и точности;
- использованием в качестве исходных дешифровочных фотоснимков, получаемых кадровыми, панорамными, щелевыми и ПЗС съемочными системами и не предназначенных для получения точной измерительной информации об объектах местности.
Создание системы трехмерных картографических условных знаков является принципиально новой задачей современной цифровой картографии. Ее суть заключается в создании библиотеки условных знаков, близких к реальному изображению объектов местности.
Методы формирования цифровых ПММ с использованием первичной цифровой картографической информации и фотоснимков должны обеспечить, с одной стороны, оперативность их визуализации в буферных устройствах компьютерных систем, а, с другой стороны, требуемые полноту, точность и наглядность трехмерного изображения.
Исследования, выполняемые в настоящее время, показали, что для получения цифровых ПММ, в зависимости от состава исходных данных могут быть применимы методы, использующие:
Цифровую картографическую информацию;
- цифровую картографическую информацию и фотоснимки;
- фотоснимки.
Наиболее перспективными представляются методы , использующие цифровую картографическую информацию и фотоснимки. Основными из них могут быть методы создания цифровых ПММ различной полноты и точности: по фотоснимкам и ЦМР; по фотоснимкам и ЦКМ; по фотоснимкам и ЦММ.
Разработка экспертной системы формирования содержания ПММ должна обеспечить решение задач проектирования пространственных изображений путем отбора объектового состава, его обобщения и символизации и вывода на экран отображения в требуемой картографической проекции. При этом потребуется разработать методику описания не только условных знаков, но и пространственно-логических отношений между ними.
Решение задачи разработки методов организации цифровых данных в банке ПММ и принципов построения банка ПММ определяется спецификой пространственных изображений, форматами представления данных. Вполне возможно, что потребуется создавать пространственно-временной банк с четырехмерными моделированием (Х,У,Н,t), где будут генерироваться ПММ в режиме реального времени.
Технические и программные средства отображения и анализа ПММ
Второй проблемой является разработка технических и программных средств отображения и анализа цифровых ПММ. Решение данной проблемы предполагает:
Разработку технических средств отображения и анализа ПММ;
- разработку способов решения расчетных задач.
Разработка технических и программных средств отображения и анализа цифровых ПММ потребует использования существующих графических рабочих станций, для которых должно быть создано специальное программное обеспечение (СПО).
Разработка способов решения расчетных задач является прикладной задачей, возникающей в процессе использования цифровых ПММ в практических целях. Состав и содержание данных задач будут определяться конкретными потребителями ПММ.
Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Модели можно различать по ряду признаков: характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования. Рассмотрим 2 варианта классификации. Первый вариант классификации. По глубине моделирования методы моделирования делятся на две группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование. Материальное моделирование основано на материальной аналогии объекта и модели. Оно осуществляется с помощью воспроизведения основных геометрических, физических или функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование. Частным случаем физического моделирования является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Образец аналогового моделирования – изучение механических колебаний (например, упругой балки) с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы (например, при изучении колебаний мостов).
Идеальное моделирование основано на идеальной (мысленной) аналогии. В экономических исследованиях (на высоком уровне их проведения, а не на субъективных желаниях отдельных руководителей) это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное моделирование. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений.
Интуитивное моделирование встречается в тех областях науки и практики, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные системные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике в основном применяется знаковое или интуитивное моделирование; оно описывает мировоззрение ученых или практический опыт работников в сфере управления ею. Второй вариант классификации приведен на рис. 1.3.В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на полное, неполное и приближенное. При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве. Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется. В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей ||рij|| переходов i-го символа алфавита j-й.В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное. Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое - для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями. В зависимости от формы реализации носителя моделирование классифицируется на мысленное и реальное. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов. При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы. В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.
Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг соответствует поведению экономической системы у определенный временный период. Каждый текущий шаг получает результаты предыдущего шага, который по определенным правилам определяет текущий результат и формирует данные для следующего шага.
Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на протяжении определенного периода планирования в условиях изменения ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на заданный период.
Для решения динамических задач оптимизации в математическом программировании сформировался соответствующий класс моделей под названием динамическое программирование, его основателем стал известный американский математик Р. Беллман. Им предложен специальный метод решения задача этого класса на основе «принципа оптимальности», согласно которого оптимальное решение задачи находится путем ее разбиения на n этапов, каждый с которых представляет подзадачу относительно одной переменной. Расчет выполняется таким образом, что оптимальный результат одной подзадачи является исходными данными для следующей подзадачи с учетом уравнений и ограничений связи между ними, результат последней из них является результатом всей задачи. Общим для всех моделей этой категории является то, что текущие управляющие решения "проявляются" как в период, относящийся непосредственно к моменту принятия решения, так и в последующие периоды. Следовательно, наиболее важные экономические последствия проявляются в разные периоды, а не только в течение одного периода. Такого рода экономические последствия, как правило, оказываются существенными в тех случаях, когда речь идет об управляющих решениях, связанных с возможностью новых капиталовложений, увеличения производственных мощностей или обучения персонала с целью. создания предпосылок для увеличения прибыльности или сокращения издержек в последующие периоды.
Типичными областями применения моделей динамического программирования при принятии решений являются:
Разработка правил управления запасами, устанавливающих момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа.
Разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию.
Определение необходимого объема запасных частей, гарантирующего эффективное использование дорогостоящего оборудования.
Распределение дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования.
В задачах, решаемых методом динамического программирования, значение целевой функции (оптимизируемого критерия) для всего процесса получают простым суммированием частных значений fi(x) того же критерия на отдельных шагах, то есть
Если критерий (или функция) f(x) обладает этим свойством, то его называют аддитивным (аддитивной).
Алгоритм динамического программирования
1. На выбранном шаге задаем набор (определяемый условиями-ограничениями) значений переменной, характеризующей последний шаг, возможные состояния системы на предпоследнем шаге. Для каждого возможного состояния и каждого значения выбранной переменной вычисляем значения целевой функции. Из них для каждого исхода предпоследнего шага выбираем оптимальные значения целевой функции и соответствующие им значения рассматриваемой переменной. Для каждого исхода предпоследнего шага запоминаем оптимальное значение переменной (или несколько значений, если таких значений больше одного) и соответствующее значение целевой функции. Получаем и фиксируем соответствующую таблицу.
2. Переходим к оптимизации на этапе, предшествующем предыдущему (движение "вспять"), отыскивая оптимальное значение новой переменной при фиксированных найденных ранее оптимальных значениях следующих переменных. Оптимальное значение целевой функции на последующих шагах (при оптимальных значениях последующих переменных) считываем из предыдущей таблицы. Если новая переменная характеризует первый шаг, то переходим к п.З. В противном случае повторяем п.2 для следующей переменной.
З. При данном в задаче исходном условии для каждого возможного значения первой переменной вычисляем значение целевой функции. Выбираем оптимальное значение целевой функции, соответствующее оптимальному(ым) значению(иям) первой переменной.
4. При известном оптимальном значении первой переменной определяем исходные данные для следующего (второго) шага и по последней таблице - оптимальное(ые) значение(ия) следующей (второй) переменной.
5. Если следующая переменная не характеризует последний шаг, то переходим к п.4.Иначе переходим к п.6.
6.Формируем (выписываем) оптимальное решение.
Список использованной литературы
1. Microsoft Office 2010. Самоучитель. Ю. Стоцкий, А. Васильев, И. Телина. Питер. 2011, - 432 с.
2. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Изд-е 7-е. - М.: Инфра-М, 1995.
3. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. М. : Нолидж, 1998, - 624 с.
4. Информатика: практикум по технологии работы на персональном компьютере /Под ред. проф. Н.В.Макаровой - М. : Финансы и статистика, 1997 г. - 384с.
5. Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н.В. Макаровой - М. : Финансы истатистика, 1997 г. - 768 с.
Похожая информация.
Пространственное объединение отдельных элементов технического объекта широко распространенная задача проектирования в любой отрасли техники: радиоэлектроники, машиностроения, энергетики и т. д. Значительную частью пространственного моделирования доставляет визуализация отдельных элементов и технического объекта в целом Большой интерес представляют вопросы построения базы данных графических трехмерных моделей элементов, алгоритмы и программная реализация графических приложений для решения данной задачи.
Построение моделей элементов носит универсальный характер и может рассматриваться как инвариантная часть многих систем пространственного моделирования и автоматизированного проектирования технических объектов.
Независимо от возможностей используемой графической среды по характеру формирования графических моделей можно выделить три группы элементов:
1.Уникальные элементы, конфигурация и размеры которых не повторяются в других аналогичных деталях.
2.Унифицированные элементы, включающие некоторый набор Фрагментов конфигураций, характерных для деталей данного класса. Как правило, существует ограниченный ряд типоразмеров унифицированного элемента.
3.Составные элементы, включающие как уникальные, так и унифицированные элементы в произвольном наборе. Используемые графические средства могут допускать некоторую вложенность составных элементов.
Пространственное моделирование уникальных элементов не представляет большой сложности. Прямое формирование конфигурации модели выполняется в интерактивном режиме, после чего программная реализация оформляется на основе протокола формирования модели или текстового описания полученного элемента.
2.Поочередный выбор фрагментов пространственной конфигурации и определение их размеров;
3.Привязка графической модели элемента к прочим элемента, технического объекта или системы;
4.Ввод дополнительной информации о моделируемом элементе
Данный подход формирования моделей унифицированных элементов обеспечивает надежную программную реализацию.
Модель составных элементов состоит из совокупности модели как уникальных, так и унифицированных элементов. Процедурно модель составного элемента строится аналогично модели унифицированного элемента, в которой в качестве графических фрагменте: выступают готовые модели элементов. Основными особенностями являются способ взаимной привязки включаемых моделей и механик объединения отдельных фрагментов в составной элемент. Последнее определяется, главным образом, возможностями инструментальных графических средств.
Интеграция графической среды и системы управления базами данных (СУБД) технической информации обеспечивает открытость системы моделирования для решения других задач проектирования: предварительные конструкторские расчеты, подбор элементной базы, оформление конструкторской документации (текстовой и графической) и др. Структура баз данных (БД) определяется как требованиями графических моделей так и информационными потребностями сопутствующих задач. В качестве инструментальных средств возможно использовать любую СУБД, сопрягаемую с графической средой. Наиболее общий характер носит построение моделей унифицированных элементов. На первом этапе в результате систематизации номенклатуры элементов, однотипных по назначению и составу графических фрагментов, формируется гипотетический или выбирается существующий образец моделируемого элемента, обладающий полным набором моделируемых частей объекта.
Методы интерполяции по дискретно расположенным точкам.
Общая задача интерполяции по точкам формулируется так: дан ряд точек (узлов интерполяции), положение и значения характеристик в которых известны, необходимо определить значения характеристик для других точек, для которых известно только положение. При этом различают методы глобальной и локальной интерполяции, и среди них точные и аппроксимирующие.
При глобальной интерполяции для всей территории одновременно используется единая функция вычисления z = F(x,y) . В этом случае изменение одного значения (х, у) на входе сказывается на всей результирующей ЦМР. При локальной интерполяции многократно применяют алгоритм вычисления для некоторых выборок из общего набора точек, как правило, близко расположенных. Тогда изменение выбора точек сказывается лишь на результатах обработки небольшого участка территории. Алгоритмы глобальной интерполяции создают сглаженные поверхности с небольшим числом резких перепадов; они применяются в случаях, если предположительно известна форма поверхности, например тренд. При включении в процесс локальной интерполяции большой доли общего набора данных она, по сути, становится глобальной.
Точные методы интерполяции.
Точные методы интерполяции воспроизводят данные в точках (узлах), на которых базируется интерполяция, и поверхность проходит через все точки с известными значениями. анализ соседства, в котором все значения моделируемых характеристик принимаются равными значениям в ближайшей известной точке. В результате образуются полигоны Тиссена с резкой сменой значений на границах. Такой метод применяется в экологических исследованиях, при оценке зон воздействия, и больше подходит для номинальных данных.
В методе В-сплайнов строят кусочно-линейный полином, позволяющий создать серию отрезков, которые в конечном итоге образуют поверхность с непрерывными первой и второй производными. Метод обеспечивает непрерывность высот, уклонов, кривизны. Результирующая ЦМР имеет растровую форму. Этот метод локальной интерполяции применяется, главным образом, для плавных поверхностей и не годится для поверхностей с отчетливо выраженными изменениями - это приводит к резким колебаниям сплайна. Он широко используется в программах интерполяции поверхностей общего назначения и сглаживания изолиний при их рисовке.
В TIN-моделях поверхность в пределах каждого треугольника обычно представляется плоскостью. Поскольку для каждого треугольника она задается высотами трех его вершин, то в общей мозаичной поверхности треугольники для смежных участков точно прилегают по сторонам: образуемая поверхность непрерывна. Однако, если на поверхности проведены горизонтали, то в этом случае они будут прямолинейны и параллельны в пределах треугольников, а на границах будет происходить резкое изменение их направления. Поэтому для некоторых приложений TIN в пределах каждого треугольника строится математическая поверхность, характеризующаяся плавным изменением углов наклона на границах треугольников. Анализ трендов. Поверхность аппроксимируется многочленом и структура выходных данных имеет вид алгебраической функции, которую можно использовать для расчета значений в точках растра или в любой точке поверхности. Линейное уравнение, например, z = а + b х + су описывает наклонную плоскую поверхность, а квадратичное z = а + b х + су + dx 2 + еху + fy 2 -простой холм или долину. Вообще говоря, любое сечение поверхности т-го порядка имеет не более (т – 1) чередующихся максимумов и минимумов. Например, кубическая поверхность может иметь в любом сечении один максимум и один минимум. Возможны значительные краевые эффекты, поскольку полиномиальная модель дает выпуклую поверхность.
Методы скользящего среднего и среднего взвешенного по расстоянию используются наиболее широко, особенно для моделирования плавно меняющихся поверхностей. Интерполированные значения представляют собой среднюю величину значений для п известных точек, либо среднее, полученное по интерполируемым точкам, и в общем случае обычно представляются формулой
Аппроксимационные методы интерполяции.
Аппроксимационные методы интерполяции применяются в тех случаях, когда имеется некоторая неопределенность в отношении имеющихся данных о поверхности; в их основе лежит соображение о том, что во многих наборах данных отображается медленно изменяющийся тренд поверхности, на который накладываются местные, быстро меняющиеся отклонения, приводящие к неточностям или ошибкам в данных. В таких случаях сглаживание за счет аппроксимации поверхности позволяет уменьшить влияние ошибочных данных на характер результирующей поверхности.
Методы интерполяции по ареалам.
Интерполяция по ареалам заключается в переносе данных с одного исходного набора ареалов (ключевого) на другой набор (целевой) и часто применяется при районировании территории. Если целевые ареалы представляют собой группировку ключевых ареалов, сделать это просто. Трудности возникают, если границы целевых ареалов не связаны с исходными ключевыми.
Рассмотрим два варианта интерполяции по ареалам: в первом из них в результате интерполяции суммарное значение интерполируемого показателя (например, численности населения) целевых ареалов в полном объеме не сохраняется, во втором - сохраняется.
Представим, что имеются данные о численности населения для некоторых районов с заданными границами, и их нужно распространить на более мелкую сетку районирования, границы которой в общем не совпадают с первой.
Методика заключается в следующем. Для каждого исходного района (ключевого ареала) рассчитывают плотность населения путем деления общего количества проживающих на площадь участка и присваивают полученное значение центральной точке (центроиду). На основе этого набора точек с помощью одного из методов, описанных выше, интерполируется регулярная сетка, для каждой ячейки сети определяется численность населения путем умножения рассчитанной плотности на площадь ячейки. Интерполированная сетка накладывается на итоговую карту, значения по каждой ячейке относятся к границам соответствующего целевого ареала. Затем рассчитывается общая численность населения каждого из итоговых районов.
К недостаткам метода можно отнести не совсем четкую определенность выбора центральной точки; методы интерполяции по точкам неадекватны, и что важнее всего - не сохраняется суммарная величина интерполируемого показателя ключевых ареалов (в данном случае общей численности населения зон переписи). Например, если исходная зона разделена на две целевые, то общее количество населения в них после интерполяции не обязательно будет равно численности населения исходной зоны.
Во втором варианте интерполяции применяют способы ГИС-технологии оверлея или построения гладкой поверхности, основанного на так называемой адаптивной интерполяции.
В первом способе осуществляют наложение ключевых и целевых ареалов, определяют долю каждого из исходных ареалов в составе целевых, величины показателя каждого исходного ареала делят пропорционально площадям его участков в разных целевых ареалах. Считается, что плотность показателя в пределах каждого ареала одинакова, например, если показатель - это общее население ареала, то плотность населения считается для него постоянной величиной.
Целью второго способа является создание гладкой поверхности без уступов (значения атрибутов не должны резко изменяться на границах ареалов) и сохранение суммарной величины показателя в пределах каждого ареала. Методика его такова. На картограмму, представляющую ключевые ареалы, накладывают густой растр, общее значение показателя для каждого ареала поровну делится между ячейками растра, перекрывающими ее, значения сглаживают путем замены величины для каждой ячейки растра средним по окрестности (по окну 2×2, 3×3, 5×5) и суммируют значения для всех ячеек каждого ареала. Далее значения для всех ячеек корректируют пропорционально так, чтобы общее значение показателя для ареала совпадало с исходным (например, если сумма меньше исходного значения на 10%, значения для каждой ячейки увеличиваются на 10%). Процесс повторяют до тех пор, пока не. прекратятся изменения.
Для описанного метода однородность в пределах ареалов необязательна, но слишком сильные вариации показателя в их пределах могут отразиться на качестве интерполяции.
Результаты могут быть представлены на карте горизонталями или непрерывными полутонами.
Применение метода требует задания некоторых граничных условий, так как по периферии исходных ареалов элементы растра могут выходить за пределы области изучения или соседствовать с ареалами, не имеющими значения интерполируемого показателя. Можно, например, присвоить плотности населения значение 0 (озеро и т. п.) или принять ее равной значениям самых дальних от центра ячеек области изучения.
При интерполяции по ареалам могут возникнуть весьма сложные случаи, например, когда нужно создать карту, показывающую «ареалы расселения», на основе данных о населении отдельных городов, особенно если эти ареалы в масштабе карты показываются точкой. Проблема возникает и для небольших исходных ареалов, когда отсутствуют файлы границ, а в данных указывается только положение центральной точки. Здесь возможны разные подходы: замена точек, к которым приписаны данные, на круги, радиус которых оценивается по расстояниям до соседних центроидов; определение пороговой плотности населения для отнесения территории к городской; распределение населения каждого города по его территории так, что в центре плотность населения выше, а к окраинам уменьшается; по точкам с пороговым значением показателя проводят линии, ограничивающие заселенные территории.
Часто попытка создать непрерывную поверхность с помощью интерполяции по ареалам по данным, приуроченным только к точкам, приводит к неправильным результатам.
Пользователь обычно оценивает успешность применения метода субъективно и, главным образом, визуально. До сих пор многие исследователи используют ручную интерполяцию или интерполяцию «на глазок» (этот метод обычно невысоко оценивается географами и картографами, однако широко используется геологами). В настоящее время предпринимаются попытки «извлечь» познания экспертов с помощью методов создания баз знаний и ввести их в экспертную систему, осуществляющую интерполяцию.
Существует модель, которая связывает и согласовывает между собой два, на первый взгляд далекие друг от друга описания человека – психофизическое и Трансперсональное. Модель эта имеет многовековую историю и опирается на глубокий исследовательский и практический опыт, передающийся непосредственно от Учителя к Ученику. На языке Традиции, представителями которой являются авторы данной книги, модель эта носит название Объемно – Пространственная Модель, (которая неоднократно упоминалась уже в первых главах). Имеются некоторые параллели Объемно – Пространственной Модели с другими древними описаниями человека (системой Чакр – “тонких” тел; “энергетических центров” – “планов сознания” и др.). К сожалению, серьезное исследование этих моделей сейчас, в большинстве случаев, подменено распространенным вульгарным представлением о Чакрах, как о неких пространственно – локализованных образованиях, а о “тонких” телах, как о своеобразной “матрешке”, состоящей из каких-то невидимых невооруженным глазом сущностей. Авторам известно лишь сравнительно небольшое число современных трезвых исследований этого вопроса [см., например, Йог №20 “Вопросы Общей теории Чакр” СПб 1994.]
Сложившаяся ситуация крайне невыгодна: критически мыслящие специалисты настроены к модели Чакр и “тонких” тел скептически, прочие же (иногда несмотря даже на длительный опыт работы психологом или психотерапевтом) становятся в один ряд с домохозяйками (не в обиду им сказано), посещающими курсы “экстрасенсорики”, и пополняют армию носителей легенд о Чакрах и “Телах”, распространяемых популярными брошюрами. Дело доходит иногда до комического оборота. Так, одному из авторов данной книги довелось несколько лет назад присутствовать на психологическом тренинге, с элементами “эзотерики”, где весьма авторитетный ведущий давал примерно такую инструкцию к одному из упражнений: “... А теперь, вы своей эфирной рукой поставьте “якорь” прямо клиенту в нижнюю Чакру...”, что большинство присутствующих сразу с энтузиазмом попытались осуществить (конечно, не далее, чем в своем воображении).
Далее мы не будем упоминать Чакры и Тела, а будем пользоваться языком Объемов и Пространств. Не следует, однако, проводить однозначное соответствие между Объемами и Чакрами, Пространствами и Телами; несмотря на некоторое сходство, модели эти отличаются; отличия, в свою очередь, связаны не с претензией на большую или меньшую правильность, а с удобством для той Практики, которую мы представляем на страницах данной книги.
Вернемся еще раз к определениям Объемов и Пространств, которые мы давали в главах 1 и 2:
Итак, Объемы – это не части физического тела и не некие локализованные области. Каждый Объем – Целостное психофизическое состояние, образование, отражающее некоторую (конгруэнтную) совокупность определенных качеств организма, как целого. Если говорить на энергетическом языке, то Объем – определенный диапазон энергии, который, при фокусировке восприятия на физическом мире, проявляется в сочетании тканей, органов, участков нервной системы и т.д. В довольно упрощенном варианте можно для каждого Объема найти наиболее характерную функцию и задачу, которую он выполняет в организме. . Так, функции Копчикового Объема можно связать с задачей выживания во всех его формах (физического, социального, духовного), проявления, рождения, становления... Функции Мочеполового Объема ассоциируются с процветанием, изобилием, плодородием, развитием и преумножением, многообразием и достатком... Для Пупочного Объема основные задачи (читай – диапазон энергии) – упорядочивание, структурирование, управление и связывание. И так далее. Нас будут пока интересовать не конкретные функции Объемов. а общие механизмы работы с ними.
Каждое переживание, любой опыт воспринимается нами преимущественно через тот или иной Объем. Это относится к любому опыту – если мы хотим активизировать то или иное переживание, то возбуждается тот или иной Объем и мы начинаем воспринимать Мир “через него”. Применительно к психотерапевтической работе – когда терапевт обращается к какому-то переживанию клиента: “проблемному” или “ресурсному”, пытается работать с некой “частью личности”, он, тем самым, фокусирует сознание пациента в какой-то области того или иного Объема (кстати, мы кратко упомянули функции только трех нижних Объемов потому, что реальная продуктивная фокусировка внимания в верхних Объемах – явление незаурядное – тут не все так просто, как описано в книжках). То же относится и к Пространствам. Напомним, что Пространства – схемы восприятия, отражающие уровни “тонкости” восприятия. Один и тот же Объем на разных уровнях восприятия будет проявляться по-своему, сохраняя свои основные задачи. Так, например, Пупочный Объем в Пространстве Событий проявляется через ряд ситуаций, в которых человек что-то с чем-то связывает, упорядочивает, управляет и т.п., в Пространстве Имен – тот же Объем проявится через схематизацию. моделирование, приведение в порядок мыслей и взглядов на Мир, построение планов и т.д., в Пространстве Отражений весь эмоциональный спектр тоже будет окрашен соответствующими этому Объему задачами.
Объемно-Пространственную Модель организма человека можно условно представить в виде схемы (Рис.3.)
Рис.3. Объемно-Пространственная Модель.
На схеме (Рис.3.) наглядно видно, что каждое Пространство охватывает весь спектр энергии на определенном уровне “тонкости”, где каждый Объем – это “сектор”, выделяющий определенный энергетический диапазон.
Итак – Объемно-Пространственная Модель позволяет в Человеке и в Мире, которые воспринимаются, как динамические энергетические структуры, выделить различные качества энергии. В восприятии эти качества энергии проявляются через определенное сочетание самых разнообразных факторов:
физиологических процессов (механических, тепловых, химических, электродинамических), динамике нервных импульсов, активизации тех или иных модальностей, окраске эмоций и мышления, сочетании событий, переплетении судеб; попадании в соответствующие “внешние” условия: географические, климатические, социальные, политические, исторические, культурные...
Энергопотоки.
Схема, приведенная на Рис.3. дает нам энергетическую модель организма человека. С этой точки зрения, всю жизнь человека, как проявление, оформление этой энергии или как динамику само-восприятия, можно представить в виде движения-пульсации некого “узора” на схеме, где в каждый момент времени активизируются те или иные области энергетического спектра (Рис.4.).
Однако динамика само-восприятия и движения энергии не так уж произвольны и многообразны для обычного человека. Существуют области, в которых восприятие, так сказать, зафиксировано и довольно устойчиво, некоторые области спектра доступны только изредка и при особом стечении обстоятельств. Существуют области, практически недоступные для осознания в течении всей жизни (для каждого человека разные: для одного человека недоступно переживание смысла, другой за всю жизнь так и не пережил по-настоящему свое тело, третий не в состоянии пережить определенное качество эмоций, событий, мыслей и т.п.).
Наиболее вероятная траектория движения и фиксаций восприятия и осознания определяется Доминантой. Становится понятно, что для того, чтобы оторваться от этой наиболее вероятной траектории и устойчивых позиций восприятия, нужна некая добавочная энергия и, что самое важное, умение направить эту энергию в нужном направлении, так, чтобы она не попала в наработанное стереотипное русло.
| ||||||||
| ||||||||
| ||||||||
Рис.4. Динамика восприятия во времени.
Этим и объясняется наличие труднодоступных и недоступных для восприятия и осознания диапазонов – обычно у человека нет этой добавочной энергии; лишь иногда она может высвободиться в результате каких-либо чрезвычайных, чаще всего стрессовых, обстоятельств, что позволит восприятию сместиться в ранее недоступный диапазон (такое внезапное смещение восприятия может привести к появлению у человека каких-то новых способностей, недоступных в обычном состоянии).
| |
Для более детального описания этой ситуации нам потребуется обратиться к понятию Энергопотока. Энергопоток – движение, развитие точечного импульса восприятия в Объемно-Пространственной энергосистеме. Можно сказать еще и так: Энергопоток – динамическое соединение различных областей в Индивидуальной Сфере по общему энергодиапазону (например по одной модальности).
“Находясь в непрерывном диалоге с Миром, человек (И.С.) откликается практически на все сигналы, приходящие “извне” движением Энергопотоков. Причем чувствительность И.С. значительно выше порога восприятия органов чувств. Соответственно существует множество неосознанных реакций.
Особенности личной деформации И.С. создают постоянные характерные индивидуальные Энергопотоки. То, что мы осознаем, как ощущения, эмоции, мысли, движения тела и превратности судьбы, память, проекции будущего, болезни, особенности культуры и мировоззрения – все это (и многое другое) движение Энергопотоков.”
Можно условно выделить конструктивные и деструктивные Энергопотоки. Конструктивный Э. – динамика восприятия, способствующая устранению деформаций из И.С. – жестких, доминирующих структур. Деструктивный Э. – динамика восприятия, способствующая возникновению новых или подкреплению имеющихся деформаций И.С.
В свою очередь, динамикой Энергопотоков мы будем называть многофакторный динамический процесс, переводящий восприятие человека из одного состояния в другое (пример динамики Энергопотоков изображен на Рис.5.).
В Целостном организме возможны любые Энергопотоки, для которых он (организм) абсолютно прозрачен и проницаем. Динамика Энергопотоков может, в таких случаях, переводить восприятие в любое положение. (Это эквивалентно тому, что мы назвали сквозным Осознанием в Главе 1.).
Динамика Энергопотоков – процесс многофакторный, т.к. любое состояние проявляется в виде сочетания большого числа факторов (например, определенных ощущений, характера движений. мимики, параметров голоса, тех или иных эмоций и т.п.). Динамика Энергопотоков переводит одно состояние в другое (точнее сказать – это процесс – непрерывная смена состояний) и, соответственно, могут меняться какие-то факторы и параметры, через которые Энергопотоки проявляются.
Рис.5. Пример динамики Энергопотоков, переводящей восприятие из состояния с жестко локализованной структурой (А)в более Целостное (Д), в пределах одного Пространства
Если теперь обратиться к психотерапии, то мы обнаружим следующее:
Пациент находится в некотором состоянии восприятия (определяемом его Доминантой), которое, очевидно, не Целостно, в его энергетике имеются жестко локализованные структуры, что не дает возможности сдвигать восприятие в другие положения. Для выхода из такой ситуации необходимо задать Энергопотоки, позволяющие сместиться в другое состояние, которое пациент будет воспринимать, как более позитивное. На этом психотерапия, обычно, заканчивается.
Если посмотреть с более общих позиций, то окажется, что не‑пациент или вылечившийся пациент по большому счету мало чем отличается от “больного”. Отличие только в том, что “больной” воспринимает свое состояние, как дискомфортное, а “здоровый”– как более – менеекомфортное и, может быть, имеющее больше степеней свободы. Однако, к Целостности это не имеет никакого отношения, т.к. и состояние “больного” и “здорового” это, как правило, все равно ограниченные, локализованные и задаваемые Доминантой фиксации восприятия.
Целостность подразумевает возможность самостоятельного задания любых Энергопотоков и переживания Мира тотально, одномоментно всем организмом.