Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, что затрудняет точное их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения.

Широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется аппроксимацией характеристики.

Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов является аппроксимация степенным полиномом.

Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме

Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор, то i - ток коллектора, а u - напряжение, например, между базой и эмиттером. Для вакуумного триода или пентода u - напряжение между управляющей сеткой и катодом, a i - анодный ток и т. д.

Рис. 8.4. Положение рабочей точки и пределы использования вольт-амперной характеристики (а, в), при которых применима аппроксимация полиномом второй степени

Рис. 8.5. Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином третьей степени

Коэффициенты определяются выражениями

Нетрудно видеть, что представляет собой крутизну характеристики в точке - первую производную крутизны (с коэффициентом ), - вторую производную крутизны (с коэффициентом ) и т. д.

При заданной форме вольт-амперной характеристики коэффициенты существенно зависят от , т. е. от положения рабочей точки на характеристике.

Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на начальном участке характеристики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 8.4). Предполагается, что подводимое к нелинейному элементу напряжение сигнала накладываясь на постоянное напряжение не выходит за точку , т. е. за начало характеристики.

Выражение (8.8) в данном случае можно записать в виде полинома второй степени

Коэффициент определяемый выражением (8.9), представляет собой крутизну характеристики (8.1) и поэтому в дальнейшем обозначается символом

Коэффициент определяется из условия, что при ток откуда вытекает уравнение

Таким образом,

2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, показанной на рис. 8.5. В точке перегиба кривой все производные четного порядка равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в выражении (8.8) обращаются в нуль и его можно записать в форме

Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего лишь третьей степени без квадратичного члена (неполным полиномом третьей степени).

Рис. 8.6. Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином высокой степени

Заменяя, как и в п. 1, на напряжение сигнала получаем

Соответствующая этой аппроксимации характеристика показана на рис. 8.5 штриховой линией. Напряжение соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от , иногда называют напряжением насыщения. Заданием этого напряжения, а также (крутизны S в точке ) однозначно определяют коэффициент в выражении (8.13).

Действительно, в точке т. е. при амплитуде входного сигнала, равной , выполняется тождество

Отметим, что аппроксимацией (8.13) допустимо пользоваться, когда напряжение сигнала не выходит за пределы .

3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики, изображенной на рис. 8.6. Если изменение напряжения настолько велико, что используется участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, b, то для удовлетворительной аппроксимации требуется полином пятой и более высокой степени. При этом анализ усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным.

При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией. Некоторые примеры кусочно-линейной аппроксимации изображены на рис. 8.7. Рис. 8.7, а соответствует случаю, когда используются нижний сгиб и линейная часть характеристики (участок ); рис. 8.7, б - когда сигнал захватывает нижний и верхний сгибы (участок ), а рис. 8.7, в - когда сигнал достигает также и падающего участка характеристики (участок ). Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками не означает линеаризации цепи. Например, несмотря на то, что на участке (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу, захватывающему область изменения система в целом является существенно нелинейной.

Рис. 8.7. Примеры кусочно-линейной аппроксимации характеристики при различных пределах ее использования

Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для исследований и расчетов, кргда основное значение имеет нижний сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя прямыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка характеристики число аппроксимирующих отрезков растет и кусочно-линейная аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных случаях иногда для аппроксимации применяются различные трансцендентные функции, например гиперболический тангенс, экспоненциальные функции и некоторые другие.

Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соответствующим характеристикам реактивных нелинейных элементов.

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально; реже удается найти их из теоретического анализа. Для исследования необходимо подобрать функцию аппроксимации такую, которая, будучи довольно простой, отражала бы все возможные особенности экспериментальной снятой характеристики с достаточной степенью точности. Чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик двухполюсников: кусочно-линейная, степенная, показательная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация

Такую аппроксимацию обычно применяют при рассчете процессов в нелинейных уравнениях в случае больших амплитуд внешних воздействий. Данный способ основан на апроксимации характеристик нелинейных элементов, т.е. на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. На рисунке показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала характеристики Uн и крутизной S. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ) около 10мА/В. Крутизна характеристики iк(Uбэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база-эмиттер, то величина 10мА/В должна быть умножена на h21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h21э = 100-200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт.

Степенная аппроксимация

Степенную аппроксимацию широко используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0.

количество членов разложения зависит от заданной точности. Рассмотрим пример:

Входная характеристика транзистора. Рабочая точка U0=0,7В. Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0,5; 0,7 и 0,9 В.

Необходимо решить систему уравнений:

Спектральный состав тока в нелинейном элементе при внешнем гармоническом воздействии

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения источника гармонического сигнала Uс(t) = coswt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безинерционного нелинейного элемента. Для этого рассмотрим рисунок.

Ток в цепи имеет синусоидальную форму.

Форма тока и напряжения оказываются различными.

Причина искажения кривой тока проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, т.к. , а дифференциальная крутизна ВАХ на разных участках различна.

Рассмотрим задачу аналитически.

Пусть нам известна нелинейная функция i(u)=i(Uc,U0). На нелинейный элемент действует напряжение сигнала Uc(t)=Umcos(wt+j).

Безразмерная величина x=wt+j, тогда I(x)=I(Umcosx, U0) – переодическая функция относительно аргумента x с периодом 2T. Представим ее рядом Фурье с коэффициентами .

Функция i(x) четная, поэтому ряд Фурье будет содержать только косинусные составляющие: .

Амплитудные коэффициенты гармонии

Две последние формулы дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии:

т.е. ток, кроме постоянной составляющей I0, содержит бесконечную последовательность гармонии с амплитудами In. Амплитуды гармонии зависят от параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим каким образом зависит от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная

i(U)=

Подано напряжение u(t)=U0+Umcoswt.

График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства:

U0+Umcosq=Uн Þ .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки U0 ВАХ нелинейного элемента

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче­ские закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных при­борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависи­мость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави­симости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ­ные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков пря­мых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F (u ) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача ап­проксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирую­щей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x ) и аппроксимируемой ξ(х ) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b , т. е. по величине

Λ = max ‌‌ │ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале ап­проксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x ) и ξ(x ) понимают сов­падение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их произ­водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбран­ных точек), когда добиваются совпадения функций f(x ) и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень­шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок­симирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок­симирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одно­временно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок­симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик элек­тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об­щий усредненный характер зависимости i = F (u ) в пределах ее ра­бочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n +1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь­шее по абсолютной величине отклонение полинома f (x ) степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f (x ) - ξ(х ) не мень­ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиесяпредельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = - L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми­альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо­сти, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбирают­ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непре­рывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

д Λ ∕ д a 0 =0;д Λ ∕ д a 1 =0;д Λ ∕ д a 2 =0, . . . ,д Λ ∕ д a n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре­шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней­ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная харак­теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред­ставляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нели­нейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействи­ях на нелинейный элемент, т. е. ко­гда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I н

2.7.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все цепи, рассматриваемые до сих пор , относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия , то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC -контура, сопротивление которого зависит от напряжения u c , получим:

. (1)

Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным . Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u , т. е, нелинейная характеристика i = F(u). Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами являются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и преобразования сигналов. На рисунке 12.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется .

Рисунок 12.1 - ВАХ нелинейного элемента

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

(2)

где U 0 - приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение ;

I 0 = F(U 0 ) — протекающий по цепи постоянный ток . Это сопротивление постоянному току (или статическое) . Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U 0 + U m cos w t , причем амплитуда U m , переменной составляющей достаточно мала (рисунок 12.2 ), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным . Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение : i = I 0 + I m cos w t.

Определим сопротивление R диф как отношение амплитуды переменного напряжения U m к амплитуде переменного тока I m (на графике это отношение приращения напряжения D u к приращению тока D i ):

(3)

Рисунок 12.2 - Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде R диф =du/di.

Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.

К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной емкости может служить любое устройство обладающее нелинейной вольт-кулонной характеристикой q = F(u) (например, вариконд и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = a u 2 . Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u 1 + u 2 , то отклик i = a (u 1 + u 2 ) 2 = a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (a u 1 2 + a u 2 2 ) наличием компоненты 2 a u 1 u 2 , которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей . Пусть u = u 1 + u 2 = U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t ,

где U m1 и U m2 - амплитуды напряжений u 1 и u 2 .

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = a u 2 будет иметь вид:

(4)

На рисунке 12.3 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми , не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты . В этом смысле нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями, чем линейные, и широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

При изучении же теории нелинейных цепей можно не учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R, L и С .

Рисунок 12.3 - Спектры напряжения и тока квадратичного нелинейного элемента

Иллюстрация указанного воздействия на реальный полупроводниковый диод

2.7.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов i = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента i = F V (u), а аналитическую функцию , а ппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N — коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

, (5)

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G — выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину

(6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u = U 0 :

(7)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0 ) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

- (8)

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой к оэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u) в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ..., N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

(9)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки U 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

(10)

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , …, a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Воздействие гармонического сигнала на цепь с нелинейным элементом

Академия России

Кафедра Физики

Реферат на тему:

«АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ»

Учебные вопросы

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

2. Графо-аналитический и аналитический методы анализа

3. Анализ цепей методом угла отсечки

4. Воздействие двух гармонических колебаний на безынерционный

нелинейный элемент

Литература

Вступление

Для всех рассмотренных ранее линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, из которого вытекает простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу. Именно поэтому линейная стационарная цепь не способна обогатить спектральный состав входного колебания.

Особенностью НЭ, по сравнению с линейными, является зависимость параметров НЭ от величины приложенного напряжения или силы протекающего тока. Поэтому на практике при анализе сложных нелинейных цепей пользуются различными приближенными методами (например, заменяют нелинейную цепь линейной в области малых изменений входного сигнала и используют линейные методы анализа) или ограничиваются качественными выводами.

Важным свойством нелинейных электрических цепей является возможность обогащения спектра выходного сигнала. Эта важная особенность используется при построении модуляторов, преобразователей частоты, детекторов и т. д.

Решение многих задач, связанных с анализом и синтезом радиотехнических устройств и цепей, требует знания процессов, происходящих при одновременном воздействии на нелинейный элемент двух гармонических сигналов. Это связано с необходимостью перемножения двух сигналов при реализации таких устройств, как преобразователи частоты, модуляторы, демодуляторы и т. д. Естественно, что спектральный состав выходного тока НЭ при бигармоническом воздействии будет гораздо богаче, чем при моногармоническом.

Нередко возникает ситуация, когда один из двух воздействующих на НЭ сигналов мал по амплитуде. Анализ в этом случае значительно упрощается. Можно считать, что по отношению к малому сигналу НЭ является линейным, но с переменным параметром (в данном случае крутизной ВАХ). Такой режим работы НЭ называется параметрическим.

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения

, (1)

которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое – использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.

Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter – между, polio – приглаживаю) – это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений

в точках лежащих между точками по известным значениям . Если , то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.

Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен

степени не больше n такой, что i = 0, 1, …, n , если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i = 0, 1, …, n . Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ

в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки . Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно .

Рассмотрим типичную форму ВАХ любого НЭ (рис. 1).

Напряжение

определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Рис. 1. Пример типичной ВАХ НЭ

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике – величиной постоянного смещения

. Аппроксимирующий полином записывается в виде , (2)

где коэффициенты

определяются выражениями .

Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда

. При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки , а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на середине линейного участка (рис. 2).

Рис. 2. Рабочая точка ВАХ – на середине линейного участка

Участок на характеристике, где закон изменения тока близок к линейному, относительно неширок, поэтому амплитуда входного напряжения

не должна выходить за пределы этого участка. В этом случае можно записать: , (3) – ток покоя; ; – дифференциальная крутизна характеристики.

Этот случай применим только при слабом сигнале